数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
Profile
Name: scruta \(\quad\)
Daily life: mowing
Revision history
1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
Contact
Copyright © 2023 scruta
【2-4】 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) と \(v_i\) の \(v\) による多項式表現
第1章と同様に3根を計算するために以下の多項式を導入して、\(V(x)\) と同様に式変形してゆきます。\begin{align} P_{\alpha}(x)&\equiv V(x)\cdot \Bigl[ \ \sum_{i=1}^6 \sigma_i(\frac{\alpha }{x-v}) \ \Bigr] & P_{\beta}(x)&\equiv V(x)\cdot \Bigl[ \ \sum_{i=1}^6 \sigma_i(\frac{\beta }{x-v}) \ \Bigr] \\ P_{\gamma}(x)&\equiv V(x)\cdot \Bigl[ \ \sum_{i=1}^6 \sigma_i(\frac{\gamma }{x-v}) \ \Bigr] & & \notag \\ \end{align}
計算例として \( P_{\alpha}(x,\alpha,\beta,\gamma)\) を \(V(x)\) の計算と同様に(1.6-8)の \([ r_3 \rightarrow r_2 \rightarrow r_1]\) の順に剰余を行います。
\begin{align} P_{\alpha}(x,\alpha,\beta,\gamma)&=r_3(\gamma) \cdot Q_{\alpha,1}(x,\alpha,\beta,\gamma)+P_{\alpha,1}(x,\alpha,\beta) \equiv P_{\alpha,1}(x,\alpha,\beta) \qquad( \ \because \ r_3=0 \ ) \notag \\ \notag \\ P_{\alpha,1}(x,\alpha,\beta)&=-12\beta^6-36\alpha\beta^5+(9\alpha^2+27x\alpha+18x^2)\beta^4 \notag \\ &+(78\alpha^3+54x\alpha^2+36x^2\alpha)\beta^3+(9\alpha^4+54x\alpha^3+54x^2\alpha^2-9x^3\alpha-6x^4)\beta^2 \notag \\ &+(-36\alpha^5+27x\alpha^4+36x^2\alpha^3-9x^3\alpha^2-6x^4\alpha)\beta-12\alpha^6+18x^2\alpha^4-6x^4\alpha^2 \notag \\ \notag \\ &\Downarrow \notag \\ \notag \\ P_{\alpha,1}(x,\alpha,\beta)&=\ r_2(\beta) \cdot Q_{\alpha,2}(x,\alpha,\beta)+P_{\alpha,2}(x,\alpha) \equiv P_{\alpha,2}(x,\alpha) \qquad( \ \because \ r_2=0 \ ) \notag \\ \notag \\ P_{\alpha,2}(x,\alpha)&=81\alpha^6+486\alpha^4+(9x^3+81x)\alpha^3+729\alpha^2 \notag \\ &+(27x^3+243x)\alpha+18x^4+162x^2+324 \notag \\ \notag \\ &\Downarrow \notag \\ \notag \\ P_{\alpha,2}(x,\alpha)&=\ r_1(\alpha) \cdot Q_{\alpha,3}(x,\alpha)+P_{\alpha,3}(x) \equiv P_{\alpha,3}(x) \qquad( \ \because \ r_1=0 \ ) \notag \\ \notag \\ P_{\alpha,3}(x)&=18x^4-9x^3+162x^2-81x+405 \equiv P_{\alpha}(x) \notag \\ \end{align}
\(\{ P_{\alpha}(x),P_{\beta}(x),P_{\gamma}(x)\}\) の計算結果(4.2)は、\(V(x)\) と同様に \(F_0\) 上の多項式となりました。
\begin{align} P_{\alpha}(x)&=18x^4-9x^3+162x^2-81x+405 \notag \\ P_{\beta}(x)&=18x^3+162x \\ P_{\gamma}(x)&=-18x^4-9x^3-162x^2-81x-405 \notag \\ \end{align}
3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) も、第1章と同様に以下の式で計算できます。 具体的な計算例として \(\alpha\) を求めてみます。
\begin{align} \alpha&=\left.\frac{P_{\alpha}(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\alpha}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} & \beta&=\left.\frac{P_{\beta}(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\beta}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} \\ \notag \\ \gamma&=\left.\frac{P_{\gamma}(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\gamma}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} & &V^{'}(v)^{-1}=\frac{v^5}{3645}+\frac{v^3}{243}+\frac{7 v}{810} \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \alpha&=\biggl( 18v^4-9v^3+162v^2-81v+405 \biggr) \times \biggl( \frac{v^5}{3645}+\frac{v^3}{243}+\frac{7 v}{810} \biggr) \notag \\ &=\frac{2v^9}{405}-\frac{v^8}{405}+\frac{16v^7}{135}-\frac{8v^6}{135}+\frac{14v^5}{15}-\frac{37v^4}{90}+\frac{46v^3}{15}-\frac{7v^2}{10}+\frac{7v}{2}\notag \\ \notag \\ &\equiv \frac{v^4+15v^2-9v+36}{18} \quad (mod \ g_0(v))\notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \end{align}
\begin{align} \alpha&=\frac{v^4+15v^2-9v+36}{18} \qquad \qquad \beta=-\frac{v^4+15v^2+36}{9} \\ \gamma&=\frac{v^4+15v^2+9v+36}{18} \notag \\ \end{align}
上(4.4)で判るように、3根は \(v\) の多項式として表現されています。
更に、(4.4)を(2.3)に代入すると、 \(v_i\) も \(v\) の多項式表現で表現出来ます。 この場合も計算過程では、 \(g_0(v)\) の剰余計算が必須となります。
\begin{align} v_1=&v & v_2=&-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \notag \\ v_3=& \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_4=& \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}+6 \\ v_5=& -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_6=& -v \notag \\ \end{align}
以上で \([\alpha,\beta,\gamma]\) と \( [v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6] \) の全てが \(v\) の多項式として表現出来ました。
【2-5】 \(v_i\) が最小多項式 \(g_0(x)\) の共役根であることの確認
(4.5)で \(v\) による多項式で表現された \(v_i\) が \(g_0(x)\) の根である事を計算で確かめてみます。例として、\(g_0(x)\) の \(x\) に(4.5)の \(v_2\) の右辺を代入します。
\begin{align} g_0(x)=&x^6+18x^4+81x^2+135 \notag \\ \notag \\ g_0(v_2)&= \ g_0 \left(-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \right) \notag \\ &={{\left( -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6\right) }^{6}} +18 {{\left( -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6\right) }^{4}} \notag \\ &+81 {{\left( -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6\right) }^{2}}+135=0 \quad (mod \ g_0(v)) \\ \notag \\ \therefore \ g_0(v_i)&=0 \quad (i=1,2,..,6) \\ \end{align}
ここでもう一度、第2節のガロア拡大の条件[1][2]に関して考察しましょう。
従って \(F_0(v)/F_0\) は分離拡大である。
条件[2]： \(\{v_1,v_2,...,v_6\} \) は \(v\) の多項式で表現されている。従って\(F_0(v)\) は、最小多項式 \(g_0(x)\) の全ての根を含んでいる。 従って \(F_0(v)/F_0\) は正規拡大である。
以上より \(F_0(v)\) は条件[1][2]を満足しているので、 \(F_0(v)/F_0\) はガロア拡大である。