数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【2-10】 \(F_1/F_0\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) を求める (2)
前節では自己同型写像 \(\rho_i\) の写像特性のみを使って議論してみましたが、この節ではその結果の確認の意味も込めて実際の計算をしてゆきます。 \(v_i\) の多項式表現を(9.1-2)に代入してみます。\begin{align} h_0&=\prod_{\rho_i \in \kappa_1 }\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5)\notag \\ &=\left( x-v\right) \, \left( x-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6\right) \, \left( x+\frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) \notag \\ &= \ x^3+9x-v^3-9v \qquad (mod \ g_0(v))\\ \notag \\ h_1&=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)(x-v_6)\notag \\ &=\left( x+v\right) \, \left( x-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}-6\right) \, \left( x+\frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}+6\right) \notag \\ &= \ x^3+9x+v^3+9v \qquad (mod \ g_0(v))\\ \end{align}
\begin{align} &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{(h_0+h_1)}{2} \\ \frac{(h_0-h_1)}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3+9x \\ -v^3-9v \end{bmatrix}\\ \notag \\ &\therefore \quad t_0=x^3+9x \ \in F_0[x] \qquad t_1= -v^3-9v \in F_0(v)\\ \end{align}
(10.4)の結果は前節で得られた(9.6)と一致している事が判ります。
次に前節の(9.7)は、実際の計算ではどのような値になるか確認してみましょう。
Step2 二項方程式 \(B_1(x)\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_0 \ \in \ F_0[x] \\
t_1 \ \in \ F_0(v) \\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
B_1(x)=x^2-A_1=0 \quad
t_1^2=A_1=-135 \in \ F_0 \\
a_1=\sqrt{A_1} \ \in \ F_0(a_1) \equiv \ F_1 \\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
実際に \(t_1^2\) を計算してみると、 \(t_1^2\) は (10.5)の様に \(F_0\) の"数"で表される事が判ります。 やはり前節の(9.7)の結果と一致しました。これを \(A_1\) とします。
\begin{align} &t_1^2=(-v^3-9v)^2=v^6+18v^4+81v^2=-135=A_1 \ \in F_0 \quad (mod \ g_0(v))\\ \end{align}
見方を変えると、(10.6)に示す様に、\(t_1\) は二項方程式 \(B_1(x)=0\) の冪根であるとも言えます。
この冪根を \(\sqrt{A_1} \equiv a_1\) と表現して、 \(a_1\)を基礎体 \(F_0\) に添加する数とします。この \(a_1\) が 添加された拡大体 \(F_0(a_1)\) を \(F_1\) と呼ぶことにします。 この操作が冪根拡大あるいは巡回拡大と言われるものです。
ここで \(a_1 \ ( \equiv t_1 )\) は拡大体 \(F_1\) の数と定義した訳ですから、\(t_1\) を今までの \(t_1\) でなく、 今後は敢えて \(\tilde{t_1}\) と表現することにします。
\begin{align} &B_1(x)=x^2-A_1=0 \quad \ \therefore \ t_1=\sqrt{-135}= \sqrt{A_1} \equiv a_1 \\ \notag \\ &\bbox[#FFFF00]{ \tilde{t_1}=a_1 \ \in F_0(a_1) \equiv F_1 } \end{align}
今まで求めた \(\{ \ t_0, \tilde{t_1}\}\) を改めて再掲します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=x^3+9x \ \in F_0[x] \\ \tilde{t_1}=a_1 \ \in F_1 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
この式\(\{ \ t_0, \tilde{t_1}\}\) を使って、(9.3)の逆変換であるILRTを計算します。
Step3 ILRT(Inverse Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3+9x+a_1\\ x^3+9x-a_1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \ \in \ F_0[x] \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\(\{ \ h_0,h_1 \ \}\) は、(10.1)(10.2)に示すように単拡大の世界 \(F_0(v)\) での多項式です。 しかし、 \(a_1\) が添加された \( \tilde{t_1} \) を使っているので、 \(\{ \ \tilde{h_0},\tilde{h_1} \ \} \) と \(F_1\) 上の多項式となったことに注意しましょう。
更に、\(F_0\) 上での \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) は、 \(F_1\) 上では、\([ \ g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot\tilde{h_1} \ ] \) と因数分解されていることが 判ります。 また、 \(\tilde{h_0}\) はもともと\((x-v)\)を因子に持っておりましたから 拡大体 \(F_1\) での \(v\) の最小多項式は \(g_1(x)=\tilde{h_0}\) としてもよいでしょう。
この節の結論としては、「新たな添加数 \(a_1\) を導入することにより、6次の最小多項式 \(g_0(x)\) を 因数分解して3次の最小多項式 \(g_1(x)\) を求める事が出来た」と言う事です。
\begin{align} & t_1^2=-135=A_1 \quad \Rightarrow \quad B_1(x)=x^2-A_1=0\\ \notag \\ &\tilde{t_1} \equiv a_1= \sqrt{A_1} \ \in F_1 \\ \notag \\ &g_1(x)=x^3+9x+a_1 \ \in F_1[x]\\ \end{align}