数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【2-6】 写像 \(\rho_i\) が群構造を持つことの確認
\(F_0(v)\) は \(F_0\) のガロア拡大である事がわかったので、体論では次の定理が成り立つと言われております。「 \(F_0(v)\) には原始元 \(v\) を \(g_0(x)\) の共役根に変換する自己同型写像が共役根の数だけ存在して、 この自己同型写像は群をなす。」
この節ではこの定理が成り立っていることを確かめます。
その為に、下(6.1)で定義される \( \{\rho_i\} \ [i=1,2,..,6]\) を自己同型写像の候補として考える事にします。
この(6.1)は、(4.5)の \(v_i\) の多項式表現を写像 \(\rho_i\) だとみなしたものです。
以下この \(\rho_i\) が対称群 \(S_3\) 群をなし、かつ共役根同士の自己同型写像になっている事を確認します。
\begin{align} \rho_{1}(v) &\equiv v_1= v \notag \\ \rho_{2}(v) &\equiv v_2= -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \notag \\ \rho_{3}(v) &\equiv v_3= \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6 \\ \rho_{4}(v) &\equiv v_4= \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}+6 \notag \\ \rho_{5}(v) &\equiv v_5= -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}-6 \notag \\ \rho_{6}(v) &\equiv v_6= -v \notag \\ \end{align}
先ず \(\rho_i(v)\) が群をなすことを確認してゆきます。
その為には、 \(\rho_i \circ \rho_j = \rho_k\) の積表を作成してみます。 具体的な計算例として \(\rho_3 \circ \rho_2=\rho_4\) の計算過程を以下に示します。 計算過程で注意しなくてはいけない事は、写像 \(\rho_i\) の写像の対象は あくまでも \(v\) です。(6.2)(6.3)の式変形では、その事を意識して式変形をしています。
\begin{align} &\rho_3 \circ \rho_2(v)=\rho_3 (\rho_2(v) ) =\rho_3(v_2)=\rho_3\bigl(-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \bigr)\\ \notag \\ &=-\frac{{{v_3}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v_3}^{2}}}{2}+\frac{v_3}{2}-6 \\ \notag \\ &=-\frac{{{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{4}}}{6} -\frac{5 {{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{2}}}{2} +\frac{\left(\frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }{2}-6 \notag \\ \notag \\ &= \ \frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-3 v+36}{6} \ = \ v_4 \qquad (\ mod \ g_0(v) \ ) \\ \notag \\ &\therefore \quad \rho_3 \circ \rho_2(v)=\rho_3(v_2)=v_4=\rho_4(v) \\ \notag \\ &\qquad \Rightarrow \quad \rho_3 \circ \rho_2=\rho_4, \quad \rho_3(v_2)=v_4 \\ \end{align}
(6.5)の式より、(6.6)に示す2つの関係が成立つことが判ります。即ち写像 \(\rho_i\) の積と、\(\rho_i\)による 共役根 \(v_j\) の写像の関係式です。すべての組み合わせを計算した結果が下記の表です。
【表2-1】は、対称群 \(S_3\) と等価な群を構成している事が判ります。
【表2-2】は、写像 \(\rho_i\) は、 全ての \(v_j\) に対して、 \(\rho_i(v_j)=v_k \) という 写像関係を有している事を示しています。
| \( i \backslash j \) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) |
| \(\rho_2\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) |
| \(\rho_3\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) |
| \(\rho_4\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) |
| \(\rho_5\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) |
| \(\rho_6\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) |
| \( i \backslash j \) | \(\rho_i(v_1)\) | \(\rho_i(v_2)\) | \(\rho_i(v_3)\) | \(\rho_i(v_4)\) | \(\rho_i(v_5)\) | \(\rho_i(v_6)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(v_1\) | \(v_2\) | \(v_3\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_6\) |
| \(\rho_2\) | \(v_2\) | \(v_1\) | \(v_5\) | \(v_6\) | \(v_3\) | \(v_4\) |
| \(\rho_3\) | \(v_3\) | \(v_4\) | \(v_1\) | \(v_2\) | \(v_6\) | \(v_5\) |
| \(\rho_4\) | \(v_4\) | \(v_3\) | \(v_6\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_2\) |
| \(\rho_5\) | \(v_5\) | \(v_6\) | \(v_2\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_3\) |
| \(\rho_6\) | \(v_6\) | \(v_5\) | \(v_4\) | \(v_3\) | \(v_2\) | \(v_1\) |
従って自己同型写像候補であった \(\{\rho_i\}\) は、ガロア群 \(Gal(F_0(v)/F_0) \) の元そのものである事が判りました。
【2-7】自己同型写像 \(\rho_i\) の \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) に対する置換作用
\( \{ \rho_1,..,\rho_6\}\) が、3根に対してどの様に作用するのかもあわせて計算してみます。 具体例として\(\rho_3(\alpha)\) を計算してみます。再度注意しておきます、同型写像 \(\rho_i\) の写像の対象はあくまでも \(v\) です。\begin{align} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}}{18}+\frac{5 {{v}^{2}}}{6}-\frac{v}{2}+2 \\ \notag \\ \rho_3(\alpha)=&\rho_3 \biggl( \frac{{{v}^{4}}}{18}+\frac{5 {{v}^{2}}}{6}-\frac{v}{2}+2 \biggr)=\frac{{{v_3}^{4}}}{18}+\frac{5 {{v_3}^{2}}}{6}-\frac{v_3}{2}+2\\ &=\frac{{{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{4}}}{18}+\frac{5 {{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{2}}}{6} -\frac{\left(\frac{{{v}^{4}}}{6}+ \frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right)}{2}+2 \notag \\ &=-\frac{{{v}^{4}}}{9}-\frac{5 {{v}^{2}}}{3}-4 \ = \ \beta \qquad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \\ \notag \\ &\therefore \quad \rho_3(\alpha)= \beta \quad \rho_3(\beta) = \alpha \quad \rho_3(\gamma) = \ \gamma \\ \end{align}
| \( \ \) | \(\rho_i(\alpha)\) | \(\rho_i(\beta)\) | \(\rho_i(\gamma)\) |
|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) |
| \(\rho_2\) | \(\alpha\) | \(\gamma\) | \(\beta\) |
| \(\rho_3\) | \(\beta\) | \(\alpha\) | \(\gamma\) |
| \(\rho_4\) | \(\beta\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) |
| \(\rho_5\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) | \(\beta\) |
| \(\rho_6\) | \(\gamma\) | \(\beta\) | \(\alpha\) |
全ての \(\rho_i\) が、 \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\)に対してどの様に作用するか 同様に計算してみたのが【表2-3】です。
写像 \(\rho_i\) は(2.2)の \(S_3\) の元 \(\sigma_i\) が \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\) に対する置換操作と 全く同一である事が判ります。
本来写像 \(\rho_i\) は \(v\) を共役根に写像するものであったのですが、その写像機能は元の方程式の根 \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\)に対しても、写像の機能が及んでいるというところが面白いです。
とにかく写像 \(\rho_i\) は写像っぽいところがいかにも自己同型写像という名前にふさわしい気がします。 \(\sigma_i\) の置換演算子の雰囲気とは違いますね。（本当は全く同じなんですけど、、、） まとめる以下となります。
\( \quad\{\rho_1,..,\rho_6\} = Gal(F_0(v)/F_0) \cong S_3\)