数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
Profile
Name: scruta \(\quad\)
Daily life: mowing
Revision history
1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
Contact
Copyright © 2023 scruta
【2-8】方程式\(f(x)\)のガロア群とその組成列
前節の議論より \(F_0\) 上の自己同型写像全体 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{6}\}\) は、対称群 \(S_3\) の性質を有している事がわかりました。群論の知識を前提としますが、対称群 \(S_3\) は(8.1)に示すような組成列を持ちます。ガロア理論では、(8.1)(8.2)に示すように、 組成列の3つの群に対応する3つの体が存在します。
更に体の拡大、\(\{F_1/F_0, / F_2/F_1\}\) はそれぞれガロア拡大であり、それぞれの拡大次数は(8.3)(8.4)に示すように素数の2、3の巡回拡大となります。
基礎体 \(F_0\) から \(F_1,F_2\) と順次拡大してゆく過程が、いわゆるガロア理論を使った方程式の解法となるわけです。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0) =\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{6}\} =S_3 : \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ S_3 \notag \\ \end{align} \begin{align} &S_3 & &\rhd & &A_3 & &\rhd & &e \\ &\updownarrow & & & &\updownarrow & & & &\updownarrow \notag \\ &F_0 & &\rightarrow & &F_1 & &\rightarrow & &F_2 \ \ ( \cong F_0(v) ) \\ \end{align} \begin{align} & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ & Galois \ extension & & & &Galois \ Group \notag \\ \notag \\ &[1] \quad [ \ F_1:F_0 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_1/F_0) = S_3/A_3 \cong C_2 \\ \notag \\ &[2] \quad [ \ F_2:F_1 \ ]=3 & &\rightarrow & &Gal(F_2/F_1) = A_3/e \cong C_3\\ \end{align}
（補足）上記組成列に対応するガロア群の自己同型写像の要素は以下の通りです。
\begin{align} &S_3=\{\rho_{1},\rho_{2},\rho_{3},\rho_{4},\rho_{5},\rho_{6}\}, \quad A_3=\{\rho_{1},\rho_{4},\rho_{5}\}, \quad e=\{\rho_{1}\} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} S_3/A_3 \cong C_2 \equiv \{\kappa_1,\kappa_2\}, \quad \kappa_1=\{\rho_{1},\rho_{4},\rho_{5}\} ,\quad \kappa_2=\{\rho_{2},\rho_{3},\rho_{6}\}\\ A_3/e \cong C_3=\{\rho_{1},\rho_{4},\rho_{5}\}\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
【2-9】 \(F_1/F_0\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) を求める (1)
(Fig2-2)の水色の部分（ \(\omega\)の計算 ）は、第１章ですでに説明しました。
この節では、最小多項式 \(g_1(x)\) を求める計算となります。 計算は3段階からなります。
先ず下記の四角枠の第1段階の計算してゆきます。
Step1 LRT(Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align}
& h_0=\prod_{\rho_i \in \kappa_1 }\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5) \\
&h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)(x-v_6) \\
\notag \\
& \begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1
\end{bmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1
\end{bmatrix}
\\
\end{align}
四角枠の中の(9.1-2)の \(\{h_0,h_1\}\) が、\(Gal(F_1/F_0)\) の要素 \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) に対してどのように 写像されるか見てみます。先ず \(\{h_0,h_1\}\) を展開してみます。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5) & h_1&=(x-v_2)(x-v_3)(x-v_6) \notag \\ &=x^3+ca_2x^2+ca_1x+ca_0 & &=x^3+cb_2x^2+cb_1x+cb_0\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} ca_2=-({v_5}+{v_4}+{v_1})\\ ca_1={v_4} {v_5}+{v_1} {v_5}+{v_1} {v_4}\\ ca_0=-{v_1} {v_4} {v_5}\\ \end{array} \right. & &\left\{ \begin{array}{l} cb_2=-({v_6}+{v_3}+{v_2})\\ cb_1={v_3} {v_6}+{v_2} {v_6}+{v_2} {v_3}\\ cb_0=-{v_2} {v_3} {v_6}\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \(\rho_i(v_1)\) | \(\rho_i(v_4)\) | \(\rho_i(v_5)\) | \(\rho_i(v_2)\) | \(\rho_i(v_3)\) | \(\rho_i(v_6)\) | ||
| \(\kappa_1\) | \(\rho_1\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_2\) | \(v_3\) | \(v_6\) |
| \(\rho_4\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_3\) | \(v_6\) | \(v_2\) | |
| \(\rho_5\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_6\) | \(v_2\) | \(v_3\) | |
| \(\kappa_2\) | \(\rho_2\) | \(v_2\) | \(v_6\) | \(v_3\) | \(v_1\) | \(v_5\) | \(v_4\) |
| \(\rho_3\) | \(v_3\) | \(v_2\) | \(v_6\) | \(v_4\) | \(v_1\) | \(v_5\) | |
| \(\rho_6\) | \(v_6\) | \(v_3\) | \(v_2\) | \(v_5\) | \(v_4\) | \(v_1\) |
（以下説明は不要でしょう）
【表2-4】
\(\quad \Downarrow\)
【表2-5】
\(\quad \Downarrow\)
【表2-6】
| \( \ \) | \(\kappa_i(ca_i)\) | \(\kappa_i(cb_j)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(ca_i\) | \(cb_j\) |
| \(\kappa_2\) | \(cb_i\) | \(ca_j\) |
\( \ \Rightarrow \ \)
| \( \ \) | \(\kappa_i(h_0)\) | \(\kappa_i(h_1)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
| \(\kappa_2\) | \(h_1\) | \(h_0\) |
【表2-6】より、\(\{h_0,h_1\}\) は \(\kappa_1\) の作用を受けても不変ですが、\(\kappa_2\) の作用を受けると相互に入れ替わってしまう事が判ります。 \(\{h_0,h_1\}\) はこの様な性質を有しているため、Lagrange resolvent Transformation (9.3)で生成された \(\{t_0,t_1\}\) には、下の【表2-8】の性質がある事が 容易に判ります。
| \( \ \) | \(\kappa_i(h_0+h_1)\) | \(\kappa_i(h_0-h_1)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(h_0+h_1\) | \(h_0-h_1\) |
| \(\kappa_2\) | \(h_1+h_0\) | \(h_1-h_0\) |
\( \ \Rightarrow \ \)
| \( \ \) | \(\kappa_i(t_0)\) | \(\kappa_i(t_1)\) | \(\kappa_i(t_1^2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(t_0\) | \(t_1\) | \(t_1^2\) |
| \(\kappa_2\) | \(t_0\) | \(-t_1\) | \(t_1^2\) |
以上の結果は同型写像 \(\rho_i\) の \(v_i\) に対する写像特性だけから判りました。実際の計算をしなくても写像特性だけからでも 様々な性質が判るところが面白いですね。ガロア理論でよく出てくる同型写像の威力を感じられたのではないかと思います。 この節のまとめは以下の通りです。
\begin{align} &t_0 \ \in \ F_0[x], \quad t_1 \ \notin \ F_0[x] \\ \notag \\ &\kappa_2(t_1^2)=\kappa_2(t_1) \cdot \kappa_2(t_1)=(-t_1)^2=t_1^2 \qquad \therefore \ t_1^2 \ \in \ F_0[x] \\ \end{align}