【例題3】の解法手順
EX3-1\begin{align*} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \\ \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &\qquad v: \ Primitive \ element \\ \\ & v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta+5 \cdot \epsilon \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1=\alpha^5-10\alpha^3+5\alpha^2+10 \alpha +1=0\\ r_2=\beta^4+\alpha\beta^3+(\alpha^2-10)\beta^2+(\alpha^3-10 \alpha +5)\beta \\ \qquad +\alpha^4-10\alpha^2+5 \alpha +10=0\\ r_3=\gamma^3+( \beta +\alpha )\gamma^2+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10)\gamma +\beta^3 \\ \qquad +\alpha\beta^2+(\alpha^2-10) \beta +\alpha^3-10 \alpha +5=0\\ r_4=\delta^2+( \gamma +\beta +\alpha )\delta +\gamma^2+( \beta +\alpha )\gamma \\ \qquad +\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10=0 \\ r_5=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon=0 \\ r_6=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)= {{v}^{120}}-3000 {{v}^{118}}+4350000 {{v}^{116}}.... \\ \qquad \qquad ..........\\ \quad \\ \qquad =( v^5-125v^3+2500v-4375 )\times .....\\ \qquad \times (v^5-125v^3+800v^2-1750 v+1225 ) \\ \]
\[g_{0}(x)=x^5-125x^3+2500x-4375 \]
\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\zeta) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v)=\frac{22 {{v}^{4}}+25 {{v}^{3}}-2575 {{v}^{2}}-5125 v+35250}{5375}\\ &\beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v), \ \epsilon=\epsilon(v)\\ \quad \\ \end{align*}
\begin{align*} &roots \ of \ V(x)\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{120}=v_{120}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,34,65,91,97) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &C_5: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad C_5 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x] \\ \quad \\ B_1=a_1^5+ 500\zeta^3+1000\zeta^2+875 \zeta +125 =0 \]
\begin{align*}
&v=v(a_1,\zeta) \\
\quad \\
&\left\{
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha(a_1,\zeta), \quad
\beta=\beta(a_1,\zeta) \\
\gamma=\gamma(a_1,\zeta), \quad
\delta=\delta(a_1,\zeta) \\
\epsilon=\epsilon(a_1,\zeta) \\
\end{array}
\right.\\
\end{align*}
（覚書：\(t_1=0 \ \Rightarrow \ A_1=0\) の時どうしますか？
EX3-4の計算
さて、次に前節の \(g_0(v)\) で定義される代数体 \(F_0(v)\) で \(f(x)\) を因数分解します。
計算手続き自体は【例題2】と全く同じです。結果は式(15)となります。
\begin{align} \setCounter{14} &fxgv:factor(f(x),g_0(v)); \notag \\ &\quad fxgv= \frac{(5375x-37v^4-130v^3+4575v^2+13750v-71500)}{4486341644287109375} \notag \\ &\qquad \times ....\times (5375x+63v^4+140v^3-7325v^2-16875v+98500) \\ \notag \\ &solve(fxgv,x); \\ &\quad x_1=-\frac{63v^4+140v^3-7325v^2-16875v+98500}{5375} \notag\\ &\quad x_2=-\frac{28v^4+110v^3-3375v^2-12875v+49750}{5375} \notag\\ &\quad x_3=\frac{22v^4+25v^3-2575v^2-5125v+35250}{5375}\\ &\quad x_4=\frac{32v^4+95v^3-3550v^2-10875v+41500}{5375} \notag\\ &\quad x_5=\frac{37v^4+130v^3-4575v^2-13750v+71500}{5375} \notag\\ \end{align}
【例題2】と同様に、方程式\([ \ fxgv=0 \ ]\) を（手計算でも簡単ですが）式(16)の様に maxima の solve命令 で解くと、 式(15)の5根 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) は式(17)の様になります。 ここで求めた5根は、順不同ですが、\(f(x)\) の5根 \(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon \ \}\) に相当しております！
EX3-5の計算
前節で \(f(x)\) の5根 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) を代数体 \(F_0(v)\) の中で求める事が出来ましたが、
\(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon \ \}\) との対応が未だ取れておりません。対応仕方は \(5!=120\) 通りあります。
対応関係を求める準備として、対称群 \(S_5\) の記号を導入します。
\begin{align} \setCounter{17} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 1&2&3&4&5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta&\epsilon \\ \alpha&\beta&\gamma&\delta&\epsilon \end{pmatrix}\\ \sigma_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 1&2&3&5&4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta&\epsilon \\ \alpha&\beta&\gamma&\epsilon&\delta \end{pmatrix} \\ \quad ...........\\ \sigma_{120}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 5&4&3&2&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta&\epsilon \\ \epsilon&\delta&\gamma&\beta&\alpha \end{pmatrix} \end{array} \right. \\ \end{align}
変換の結果は式(20)の様になります。
\begin{align} &\qquad \qquad w \equiv x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_4+5x_5 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5 \\ \sigma_2 (w)=w_2=x_1+2x_2+3x_3+4x_5+5x_4 \\ \quad ...... \\ \sigma_{120} (w)=w_{120}=x_5+2x_4+3x_3+4x_2+5x_1 \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} w_1=\frac{52 {{v}^{4}}}{1075}+\frac{149 {{v}^{3}}}{1075}-\frac{1229 {{v}^{2}}}{215}-\frac{680 v}{43}+\frac{3450}{43} \\ w_2=\frac{51 {{v}^{4}}}{1075}+\frac{142 {{v}^{3}}}{1075}-\frac{1188 {{v}^{2}}}{215}-\frac{657 v}{43}+\frac{3210}{43} \\ \qquad ....... \\ \bbox[#FFFF00]{w_{52}= v } \\ \qquad ....... \\ w_{120}=-\frac{52 {{v}^{4}}}{1075}-\frac{149 {{v}^{3}}}{1075}+\frac{1229 {{v}^{2}}}{215}+\frac{680 v}{43}-\frac{3450}{43} \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\alpha= \frac{22v^4+25v^3-2575v^2-5125v+35250}{5375} \\ &\beta= -\frac{63v^4+140v^3-7325v^2-16875v+98500}{5375} \\ &\gamma=\frac{32v^4+95v^3-3550v^2-10875v+41500}{5375} \\ &\delta=\frac{37v^4+130v^3-4575v^2-13750v+71500}{5375} \\ &\epsilon=-\frac{28v^4+110v^3-3375v^2-12875v+49750}{5375} \end{array} \right. \\ \end{align}
もともと、\(v\) は前節の式(9)(10)の多元連立方程式から得られた式(11)を満足しています。
従って \(v\) は、式(12)で定義された \(V(x)=0\) の一つの根です。更に \(V(x)\) は \(F_0\) 上の 多項式ですから、根 \(v\) を定義している式(3)の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}\) に関して対称式で無ければなりません。
即ち \(S_5\) の全ての元に対して不変でなければなりません。この要請から \(V(x)\) の120根は、以下の式(23)で定義される\(\{v_1(=v),v_2,..,v_{120} \}\)であろうと予想できます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)=v_1=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon \\ \sigma_2 (v)=v_2=\alpha+2\beta+3\gamma+4\epsilon+5\delta \\ \qquad .....\\ \sigma_{120} (v)=v_{120}=\epsilon+ 2\delta+3\gamma+4\beta+5\alpha \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &V(x) =(x-v_1)(x-v_2)........(x-v_{120}) \\ \notag \\ &\sigma_i(V(x))=V(x) \quad [i=1,2,..120] \quad ( \ S_5で不変 \ )\\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)={v_1}=v \\ \sigma_2 (v)=v_2=\frac{13 {{v}^{4}}}{1075}+\frac{48 {{v}^{3}}}{1075}-\frac{318 {{v}^{2}}}{215}-\frac{170 v}{43}+\frac{970}{43} \\ \qquad ............ \\ \sigma_{119} (v)=v_{119}=-\frac{17 {{v}^{4}}}{1075}-\frac{33 {{v}^{3}}}{1075}+\frac{396 {{v}^{2}}}{215}+\frac{133 v}{43}-\frac{1070}{43} \\ \sigma_{120} (v)={v_{120}}=-v \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &V(v_1)=V(v_2)=....=V(v_{119})=V(v_{120})=0 \quad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \end{align}
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