【例題3】の解法手順
EX3-1\begin{align*} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \\ \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &\qquad v: \ Primitive \ element \\ \\ & v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta+5 \cdot \epsilon \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1=\alpha^5-10\alpha^3+5\alpha^2+10 \alpha +1=0\\ r_2=\beta^4+\alpha\beta^3+(\alpha^2-10)\beta^2+(\alpha^3-10 \alpha +5)\beta \\ \qquad +\alpha^4-10\alpha^2+5 \alpha +10=0\\ r_3=\gamma^3+( \beta +\alpha )\gamma^2+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10)\gamma +\beta^3 \\ \qquad +\alpha\beta^2+(\alpha^2-10) \beta +\alpha^3-10 \alpha +5=0\\ r_4=\delta^2+( \gamma +\beta +\alpha )\delta +\gamma^2+( \beta +\alpha )\gamma \\ \qquad +\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10=0 \\ r_5=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon=0 \\ r_6=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)= {{v}^{120}}-3000 {{v}^{118}}+4350000 {{v}^{116}}.... \\ \qquad \qquad ..........\\ \quad \\ \qquad =( v^5-125v^3+2500v-4375 )\times .....\\ \qquad \times (v^5-125v^3+800v^2-1750 v+1225 ) \\ \]
\[g_{0}(x)=x^5-125x^3+2500x-4375 \]
\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\zeta) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v)=\frac{22 {{v}^{4}}+25 {{v}^{3}}-2575 {{v}^{2}}-5125 v+35250}{5375}\\ &\beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v), \ \epsilon=\epsilon(v)\\ \quad \\ \end{align*}
\begin{align*} &roots \ of \ V(x)\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{120}=v_{120}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,34,65,91,97) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &C_5: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad C_5 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x] \\ \quad \\ B_1=a_1^5+ 500\zeta^3+1000\zeta^2+875 \zeta +125 =0 \]
\begin{align*}
&v=v(a_1,\zeta) \\
\quad \\
&\left\{
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha(a_1,\zeta), \quad
\beta=\beta(a_1,\zeta) \\
\gamma=\gamma(a_1,\zeta), \quad
\delta=\delta(a_1,\zeta) \\
\epsilon=\epsilon(a_1,\zeta) \\
\end{array}
\right.\\
\end{align*}
（覚書：\(t_1=0 \ \Rightarrow \ A_1=0\) の時どうしますか？
EX3-覚書 \(t_1=0 \ \Rightarrow \ A_1=0\) の時どうしますか？
【例題3】を含めて、普通の方程式では \(t_1=0\) の様な場合は、あまり起こりませんが、
もし \(t_1=0\) の時、即ち \(A_1=0\) の場合には、\(A_1^{-1}\) は定義できなくなります。
「 \(t_1=0\) の場合どうしたらよいか？」を説明したいと思います。答えは簡単です。
「 \(t_i \neq 0\) を見つけて \(t_i^5=A_1\) とする 」
です。
よく考えると、\(t_0\) は別として、\(\{t_1,t_2,t_3,t_4\}\) はどれも平等なはずです。事実
下式(71)が成り立つので、\(\{ \ t_1^5,\ t_2^5, \ t_3^5, \ t_4^5 \ \}\)は、全て\(F_0\)の
元となる事が判ります。
\begin{align} \setCounter{70} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_1)=\zeta^{-1}t_1 \\ \rho(t_2)=\zeta^{-2}t_2 \\ \rho(t_3)=\zeta^{-3}t_3 \\ \rho(t_4)=\zeta^{-4}t_4 \\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \rho(t_1^5)=(\zeta^{-1}t_1)^5=\zeta^{-5}t_1^5=t_1^5 \\ \rho(t_2^5)=(\zeta^{-2}t_2)^5=\zeta^{-10}t_2^5=t_2^5 \\ \rho(t_3^5)=(\zeta^{-3}t_3)^5=\zeta^{-15}t_3^5=t_3^5 \\ \rho(t_4^5)=(\zeta^{-4}t_4)^5=\zeta^{-20}t_4^5=t_4^5 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\therefore \ \{ \ t_1^5,\ t_2^5, \ t_3^5, \ t_4^5 \ \} \in F_0[x] \ (=F_0)\\ \end{align}
case1 \(t_1^5=A_1\) とした場合 (\(t_1 \neq 0\) の場合)
先ず \(t_1^5=A_1\) とした場合を考えてみます。この場合は、既に【例題3】の計算で 説明しておりますが以下に再掲します。即ち、式(73)(=式(50))に示す\(\{A_1,T_{12},T_{13},T_{14}\}\)を 計算する事により、式(74)に示す様に、\(\{t_1,t_2,t_3,t_4\}\) は拡大体 \(F_1\) の元 \(\{\tilde{t_1},\tilde{t_2},\tilde{t_3},\tilde{t_4}\}\) として表現できます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_1^4 \cdot t_1)=t_1^4 \cdot t_1 \equiv A_1 &\in F_0\\ \rho(t_1^3 \cdot t_2)=t_1^3 \cdot t_2 \equiv T_{12} &\in F_0 \\ \rho(t_1^2 \cdot t_3)=t_1^2 \cdot t_3 \equiv T_{13} &\in F_0\\ \rho(t_1^1 \cdot t_4)=t_1^1 \cdot t_4 \equiv T_{14} &\in F_0 \\ \end{array} \right.\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tilde{t_1}&=a_1 \quad ( \ a_1=\sqrt[5]{A_1} \ ) \\ \tilde{t_2}=A_1^{-1} \cdot t_1^2 \cdot (t_1^3 \cdot t_2)&=A_1^{-1} \cdot a_1^2 \cdot T_{12} \\ \tilde{t_3}=A_1^{-1} \cdot t_1^3 \cdot (t_1^2 \cdot t_3)&=A_1^{-1} \cdot a_1^3 \cdot T_{13} \\ \tilde{t_4}=A_1^{-1} \cdot t_1^4 \cdot (t_1^1 \cdot t_4)&=A_1^{-1} \cdot a_1^4 \cdot T_{14} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
case2 \(t_2^5=A_1\) とした場合 (\(t_2 \neq 0\) の場合)
この場合 \(t_2\) が拡大体 \(F_1\) の元として、\(\tilde{t_2}=a_1\) として 表現されることになります。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_2^2 \cdot t_1)=t_2^2 \cdot t_1 \equiv T_{21} &\in F_0\\ \rho(t_2^4 \cdot t_2)=t_2^4 \cdot t_2 \equiv A_1 &\in F_0 \\ \rho(t_2^1 \cdot t_3)=t_2^1 \cdot t_3 \equiv T_{23} &\in F_0\\ \rho(t_2^3 \cdot t_4)=t_2^3 \cdot t_4 \equiv T_{24} &\in F_0 \\ \end{array} \right.\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tilde{t_1}=A_1^{-1} \cdot t_2^3 \cdot (t_2^2 \cdot t_1)&=A_1^{-1} \cdot a_1^3 \cdot T_{21} \\ \tilde{t_2}&=a_1 \quad ( \ a_1=\sqrt[5]{A_1} \ )\\ \tilde{t_3}=A_1^{-1} \cdot t_2^4 \cdot (t_2^1 \cdot t_3)&=A_1^{-1} \cdot a_1^4 \cdot T_{23} \\ \tilde{t_4}=A_1^{-1} \cdot t_2^2 \cdot (t_2^3 \cdot t_4)&=A_1^{-1} \cdot a_1^2 \cdot T_{24} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
case3 \(t_3^5=A_1\) とした場合 (\(t_3 \neq 0\) の場合)
この場合 \(t_3\) が拡大体 \(F_1\) の元として、\(\tilde{t_3}=a_1\) として 表現されることになります。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_3^3 \cdot t_1)=t_3^3 \cdot t_1 \equiv T_{31} &\in F_0\\ \rho(t_3^1 \cdot t_2)=t_3^1 \cdot t_2 \equiv T_{32} &\in F_0 \\ \rho(t_3^4 \cdot t_3)=t_3^4 \cdot t_3 \equiv A_1 &\in F_0\\ \rho(t_3^2 \cdot t_4)=t_3^2 \cdot t_4 \equiv T_{34} &\in F_0 \\ \end{array} \right.\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tilde{t_1}=A_1^{-1} \cdot t_3^2 \cdot (t_3^3 \cdot t_1)&=A_1^{-1} \cdot a_1^2 \cdot T_{31}\\ \tilde{t_2}=A_1^{-1} \cdot t_3^4 \cdot (t_3^1 \cdot t_2)&=A_1^{-1} \cdot a_1^4 \cdot T_{32} \\ \tilde{t_3}&=a_1 \quad ( \ a_1=\sqrt[5]{A_1} \ ) \\ \tilde{t_4}=A_1^{-1} \cdot t_3^3 \cdot (t_3^2 \cdot t_4)&=A_1^{-1} \cdot a_1^3 \cdot T_{34} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
case4 \(t_4^5=A_1\) とした場合 (\(t_4 \neq 0\) の場合)
この場合 \(t_4\) が拡大体 \(F_1\) の元として、\(\tilde{t_4}=a_1\) として 表現されることになります。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_4^1 \cdot t_1)=t_4^1 \cdot t_1 \equiv T_{41} &\in F_0\\ \rho(t_4^2 \cdot t_2)=t_4^2 \cdot t_2 \equiv T_{42} &\in F_0 \\ \rho(t_4^3 \cdot t_3)=t_4^3 \cdot t_3 \equiv T_{43} &\in F_0\\ \rho(t_4^4 \cdot t_4)=t_4^4 \cdot t_4 \equiv A_1 &\in F_0 \\ \end{array} \right.\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tilde{t_1}=A_1^{-1} \cdot t_4^4 \cdot (t_4^1 \cdot t_1)&=A_1^{-1} \cdot a_1^4 \cdot T_{41} \\ \tilde{t_2}=A_1^{-1} \cdot t_4^3 \cdot (t_4^2 \cdot t_2)&=A_1^{-1} \cdot a_1^3 \cdot T_{42} \\ \tilde{t_3}=A_1^{-1} \cdot t_4^2 \cdot (t_4^3 \cdot t_3)&=A_1^{-1} \cdot a_1^2 \cdot T_{43} \\ \tilde{t_4}&=a_1 \quad ( \ a_1=\sqrt[5]{A_1} \ ) \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
以上いずれの場合でも \(\{A_1,T_{ij}\}\) を計算する事により、\(\{t_1,t_2,t_3,t_4\}\) を、拡大体 \(F_1\) の元 \(\{\tilde{t_1},\tilde{t_2},\tilde{t_3},\tilde{t_4}\}\) として表現できる事が判りました。 この \(\{\tilde{t_1},\tilde{t_2},\tilde{t_3},\tilde{t_4}\}\) と \(\{t_0\}\) を合わせて下式(81)に代入すれば、 いずれの場合でも最終結果には違いありません。
\begin{align} \tilde{h_0}=t_0+ \tilde{t_1}+\tilde{t_2}+ \tilde{t_3}+\tilde{t_4}=g_1(x) \end{align}
以上の説明は、【補足5】の時に再度引用されると思います。 Homeへ戻る
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