\begin{align*} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \\ \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &\qquad v: \ Primitive \ element \\ \\ & v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta+5 \cdot \epsilon \end{align*}

\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]

\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1=\alpha^5-10\alpha^3+5\alpha^2+10 \alpha +1=0\\ r_2=\beta^4+\alpha\beta^3+(\alpha^2-10)\beta^2+(\alpha^3-10 \alpha +5)\beta \\ \qquad +\alpha^4-10\alpha^2+5 \alpha +10=0\\ r_3=\gamma^3+( \beta +\alpha )\gamma^2+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10)\gamma +\beta^3 \\ \qquad +\alpha\beta^2+(\alpha^2-10) \beta +\alpha^3-10 \alpha +5=0\\ r_4=\delta^2+( \gamma +\beta +\alpha )\delta +\gamma^2+( \beta +\alpha )\gamma \\ \qquad +\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10=0 \\ r_5=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon=0 \\ r_6=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]

\[ \qquad Elimination \ Theory \]

\[ V(v)= {{v}^{120}}-3000 {{v}^{118}}+4350000 {{v}^{116}}.... \\ \qquad \qquad ..........\\ \quad \\ \qquad =( v^5-125v^3+2500v-4375 )\times .....\\ \qquad \times (v^5-125v^3+800v^2-1750 v+1225 ) \\ \]

\[g_{0}(x)=x^5-125x^3+2500x-4375 \]

\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\zeta) \]

\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]

\begin{align*} &\alpha=\alpha(v)=\frac{22 {{v}^{4}}+25 {{v}^{3}}-2575 {{v}^{2}}-5125 v+35250}{5375}\\ &\beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v), \ \epsilon=\epsilon(v)\\ \quad \\ \end{align*}

\begin{align*} &roots \ of \ V(x)\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{120}=v_{120}(v) \ ] \\ \end{align*}

\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,34,65,91,97) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &C_5: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad C_5 \rhd \{e\} \end{align*}

\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x] \\ \quad \\ B_1=a_1^5+ 500\zeta^3+1000\zeta^2+875 \zeta +125 =0 \]

\begin{align*} &v=v(a_1,\zeta) \\ \quad \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,\zeta), \quad \beta=\beta(a_1,\zeta) \\ \gamma=\gamma(a_1,\zeta), \quad \delta=\delta(a_1,\zeta) \\ \epsilon=\epsilon(a_1,\zeta) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
（覚書：\(t_1=0 \ \Rightarrow \ A_1=0\) の時どうしますか？

[1]　ガロア拡大体\(F_0(v)\)に対し、\(F_0\)の元を不動にする \(\sigma_i(v)=v_i\) を満たす
　　　\(F_0\)上の自己同型写像 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{34},\sigma_{65},\sigma_{91}, \sigma_{97}\}\) が存在する。

[2]　\(F_0\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{34},\sigma_{65},\sigma_{91}, \sigma_{97}\}\) は群をなす。
　　　それを \(Gal(F_0(v)/F_0)\) で表し 「 \(F_0(v)/F_0\) のガロア群である」と言う。

[3]　\(n(=5)=F_0(v)\)の拡大次数 \([F_0(v):F_0]=Gal(F_0(v)/F_0)\) の位数

[4]　拡大体 \(F_0(v)\) は \(f(x)\) の \(F_0\) 上の最小分解体である。
　　　この時 \(Gal(F_0(v)/F_0)\) は 「\(f(x)\) の \(F_0\) 上のガロア群である」とも言う。