【例題4】の解法手順
EX4-1\begin{align*} &f(x)=x^4+4x+2 \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \\ & v: \ Primitive \ element \\ & \qquad v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1={{\alpha }^{4}}+4\alpha +2=0\\ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ r_4= \alpha+\beta+\gamma+\delta =0\\ r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)=v^{24}-160v^{20}+5440v^18+30080v^{16}+...\\ \quad...+700091596800v^2+4691625312256\\ \]
\begin{align*} &V(x): \ irreducible \ polynomial \\ \\ &\therefore \ g_0(x) \equiv V(x) \qquad deg(g_0(x))=24\\ \\ &g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \\ \end{align*}
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v), \ \beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v)\\ \\ &roots \ of \ g_0(x) \ ( \ =V(x) \ )\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{24}=v_{24}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &S_4: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &composition \ series \quad S_4 \rhd \ A_4 \rhd \ V_4 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x]\qquad deg(g_1(x))=12 \\ \quad \\ B_1=a_1^2+17510400\]
\[g_2(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_2(x) \ \in \ F_1(a_2)[x] \qquad deg(g_2(x))=4\\ \quad \\ B_2=a_2^3-\frac{14 {a_1} \omega }{27}-2304 \omega -\frac{89 {a_1}}{135}+1088 \]
\[ g_3(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_3(x) \ \in \ F_2(a_3)[x] \qquad deg(g_3(x))=2\\ \]
\[ B_3=a_3^2-\biggl( \frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}\\ \qquad \qquad +\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \biggr)\\ \]
\[ g_4(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_4(x) \ \in \ F_3(a_4)[x] \qquad deg(g_4(x))=1\\ \]
\[ B_4=a_4^2-\biggl(-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13} \\ \qquad \qquad -\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26}\biggr)\\ \]
\begin{align*} &v=v(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \ \in \ F_4=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \beta=\beta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \gamma=\gamma(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \delta=\delta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
EX4-10 \(F_4/F_3\) の計算：最小多項式\(g_4(x)\)を求める
いよいよ最終段階の計算となります。下図Fig.4-5の緑の部分です。
\begin{align} \setCounter{89} & h_0=\sigma_1(x-v)=(x-v_1) \\ &h_1=\sigma_8(x-v)=(x-v_{8}) \notag \\ \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \qquad ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_3[x] \\ t_1 \ \in \ F_3(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_4=a_4^2-A_4=0 \quad A_4 \in F_3 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_4[x]=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_4(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_4[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_3(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_4(x)=0\\ B_4=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
明らかに、\(h_0\) は \((x-v)\) の因子を含んでいますから、以下で形成される 拡大体 \(F_4\) 上での \(v\) の最小多項式になるはずです。 その事を以降の計算で確かめます。
以下の計算は全て、 \([ \ mod \ g_3(v), \ mod \ B_3 , \ mod \ B_2 ,\ mod \ B_1 , \ mod \ \Omega \ ]\) の順で 計算する事に注意してください。
式(90)の \(\{h_0,h_1\}\) の中の \(\{v_1,v_8\}\) に、式(25)の \(v\) の多項式表現を代入して、式(91)を計算します。 計算結果は以下のようになります。
\begin{align} & t_0= x+\frac{a_3}{2} \\ & t_1=-v-\frac{a_3}{2} \\ \end{align}
この時点で\(a_4\)はもはや\(F_3(v)\)の数ではありません。 体 \(F_3\) に添加して拡大体 \(F_4\) を生成する数として定義されます。
この新たな添加数\(a_4\)を使うと、式(96)の\(t_1\)は、式(99)の様に\(F_4\)の元として再定義されます。 従って、従来同様にチルダを付けて\(tilde{t_1}\)としました。
\begin{align} &t_1^2=a_4^2=-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676} +\frac{2 {a_2} \omega }{13}-\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408} +\frac{3 {a_2}}{26} \equiv A_4 \ \in \ F_2\\ \notag \\ &B_3 \equiv a_4^2-A_4=0 \quad a_4 \equiv \sqrt{A_4} \quad \Rightarrow \quad \bbox[#FFFF00]{ F_4 \equiv F_3(a_4) } \\ \notag \\ &t_1 \quad \longrightarrow \quad \tilde{t_1}=a_4 \ \in \ F_4\\ \end{align}
最後に、式(95)の \(t_0\) と式(99)の \( \tilde{t_1}\) を、式(93)に代入すると、 \(F_4\) 上の \(v\) の最小多項式 \(\tilde{h_0} \equiv g_4(x)\) を求める事が出来ます。 以上まとめると以下の様になります。\begin{align} &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_4(x) \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\ g_4(x)= x+\frac{{a_3}}{2}+{a_4} \ \in \ F_4[x]\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} g_4(v)=0 \\ B_4= \ a_4^2-A_4=0 \qquad a_4=\sqrt{A_4} \qquad F_4 \equiv F_3(a_4)\\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &A_4= -\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13}-\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26} \\ \end{align}
次ページに続く
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