\begin{align*} &f(x)=x^4+4x+2 \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \\ & v: \ Primitive \ element \\ & \qquad v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1={{\alpha }^{4}}+4\alpha +2=0\\ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ r_4= \alpha+\beta+\gamma+\delta =0\\ r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)=v^{24}-160v^{20}+5440v^18+30080v^{16}+...\\ \quad...+700091596800v^2+4691625312256\\ \]
\begin{align*} &V(x): \ irreducible \ polynomial \\ \\ &\therefore \ g_0(x) \equiv V(x) \qquad deg(g_0(x))=24\\ \\ &g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \\ \end{align*}
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v), \ \beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v)\\ \\ &roots \ of \ g_0(x) \ ( \ =V(x) \ )\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{24}=v_{24}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &S_4: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &composition \ series \quad S_4 \rhd \ A_4 \rhd \ V_4 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x]\qquad deg(g_1(x))=12 \\ \quad \\ B_1=a_1^2+17510400\]
\[g_2(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_2(x) \ \in \ F_1(a_2)[x] \qquad deg(g_2(x))=4\\ \quad \\ B_2=a_2^3-\frac{14 {a_1} \omega }{27}-2304 \omega -\frac{89 {a_1}}{135}+1088 \]
\[ g_3(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_3(x) \ \in \ F_2(a_3)[x] \qquad deg(g_3(x))=2\\ \]
\[ B_3=a_3^2-\biggl( \frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}\\ \qquad \qquad +\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \biggr)\\ \]
\[ g_4(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_4(x) \ \in \ F_3(a_4)[x] \qquad deg(g_4(x))=1\\ \]
\[ B_4=a_4^2-\biggl(-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13} \\ \qquad \qquad -\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26}\biggr)\\ \]
\begin{align*} &v=v(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \ \in \ F_4=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \beta=\beta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \gamma=\gamma(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \delta=\delta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
前節で\(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) の根は、 \(\{v_1,v_2,...,v_{24}\}\)である事が判りました。
これら24根は、お互い共役根となっており重根ではなく、\(v\) の多項式で表現されているので
\(F_0(v)\) に属する事も判ります。従って \(F_0(v)\) は \(F_0\) の分離拡大かつ正規拡大である事が判ります。
即ち \(F_0(v)\) は \(F_0\) のガロア拡大となります。
\(F_0(v)\) は ガロア拡大体と言う事が判ったので、体論より以下の事が言えます。
[1] ガロア拡大体\(F_0(v)\)に対し、\(F_0\)の元を不動にする \(\sigma_i(v)=v_i\) を満たす
\(F_0\)上の自己同型写像 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{2},..., \sigma_{24}\}\) が存在する。
[2] \(F_0\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{2},..., \sigma_{24}\}\) は群をなす。
それを \(Gal(F_0(v)/F_0)\) で表し 「 \(F_0(v)/F_0\) のガロア群である」と言う。
[3] \(n(=24)=F_0(v)\)の拡大次数 \([F_0(v):F_0]=Gal(F_0(v)/F_0)\) の位数
[4] 拡大体 \(F_0(v)\) は \(f(x)\) の \(F_0\) 上の最小分解体である。
この時 \(Gal(F_0(v)/F_0)\) は 「\(f(x)\) の \(F_0\) 上のガロア群である」とも言う。
\begin{align} \setCounter{26} &Gal(F_0(v)/F_0)=S_4 =\{\sigma_{1}, \sigma_{2},..., \sigma_{24}\} \notag \\ &\quad S_4 \ : \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \ and \ f(x) \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ S_4 \notag \\ & \quad \biggl[ S_4 \ \rhd \ A_4 \ \rhd \ V_4 \ \rhd \ N \ \rhd \ e \biggr]\\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &Cyclic \ extensions \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\quad \biggl[S_4/A_4 \ \rhd \ e\biggr] \rightarrow \biggl[A_4/V_4 \ \rhd \ e\biggr] \rightarrow \biggl[ V_4/N \ \rhd \ e\biggr] \rightarrow \biggl[ N/e \ \rhd \ e\biggr] \\ \end{align}
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} S_4&=\{\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3},\sigma_{4},\sigma_{5},\sigma_{6},\sigma_{7},\sigma_{8},\sigma_{9},\sigma_{10}, \sigma_{11},\sigma_{12}, \\ &\qquad \sigma_{13},\sigma_{14},\sigma_{15},\sigma_{16},\sigma_{17},\sigma_{18},\sigma_{19}, \sigma_{20},\sigma_{21},\sigma_{22},\sigma_{23},\sigma_{24}\} \\ A_4&=\{\sigma_{1},\sigma_{4},\sigma_{5},\sigma_{8},\sigma_{9},\sigma_{12},\sigma_{13},\sigma_{16},\sigma_{17},\sigma_{20},\sigma_{21},\sigma_{24}\} \\ V_4&=\{\sigma_{1},\sigma_{8},\sigma_{17},\sigma_{24}\}\quad (クラインの四元群)\\ N&=\{\sigma_{1},\sigma_{8}\} \\ e&=\{\sigma_{1}\} \end{array} \right.\\ \end{align}
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