【例題4】の解法手順
EX4-1\begin{align*} &f(x)=x^4+4x+2 \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \\ & v: \ Primitive \ element \\ & \qquad v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1={{\alpha }^{4}}+4\alpha +2=0\\ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ r_4= \alpha+\beta+\gamma+\delta =0\\ r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)=v^{24}-160v^{20}+5440v^18+30080v^{16}+...\\ \quad...+700091596800v^2+4691625312256\\ \]
\begin{align*} &V(x): \ irreducible \ polynomial \\ \\ &\therefore \ g_0(x) \equiv V(x) \qquad deg(g_0(x))=24\\ \\ &g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \\ \end{align*}
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v), \ \beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v)\\ \\ &roots \ of \ g_0(x) \ ( \ =V(x) \ )\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{24}=v_{24}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &S_4: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &composition \ series \quad S_4 \rhd \ A_4 \rhd \ V_4 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x]\qquad deg(g_1(x))=12 \\ \quad \\ B_1=a_1^2+17510400\]
\[g_2(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_2(x) \ \in \ F_1(a_2)[x] \qquad deg(g_2(x))=4\\ \quad \\ B_2=a_2^3-\frac{14 {a_1} \omega }{27}-2304 \omega -\frac{89 {a_1}}{135}+1088 \]
\[ g_3(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_3(x) \ \in \ F_2(a_3)[x] \qquad deg(g_3(x))=2\\ \]
\[ B_3=a_3^2-\biggl( \frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}\\ \qquad \qquad +\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \biggr)\\ \]
\[ g_4(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_4(x) \ \in \ F_3(a_4)[x] \qquad deg(g_4(x))=1\\ \]
\[ B_4=a_4^2-\biggl(-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13} \\ \qquad \qquad -\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26}\biggr)\\ \]
\begin{align*} &v=v(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \ \in \ F_4=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \beta=\beta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \gamma=\gamma(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \delta=\delta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
EX4-7 \(F_1/F_0\) の計算：最小多項式\(g_1(x)\)を求める
EX4-7-1 ガロア理論から言える事
[2] \(S_4\) の組成列 \(\{S_4,A_4,V_4,N,e\}\) に対応する体 \(\{F_0,F_1,F_2,F_3,F_4\}\) が存在する。
[3] ガロア群 \(S_4\) は可解群。従って \(\{S_4 \rhd A_4 \rhd V_4 \rhd N \rhd e \}\) が組成列となる。
[4] 従って、各拡大 \(\{F_1/F_0,F_2/F_1,F_3/F_2,F_4/F_3\}\) は巡回拡大。
[5] 巡回拡大の場合、2項方程式が定義される。その冪根を \(\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) とする。
[6] 冪根を添加する事により、以下の様に具体的に拡大体が定義できる。
\(\{F_1=F_0(a_1),F_2=F_1(a_2),F_3=F_2(a_3),F_4=F_3(a_4)\}\)
[7] 各拡大体上での \(v\) の最小多項式 \(\{g_1(x),g_2(x),g_3(x),g_4(x)\}\) も、冪根を使って
体を拡大しながら、具体的に求める事が出来る。
上記[7]を主眼に、今後の計算の流れをイメージ出来る（？）ように以下書いてみました。
（ 済みません！ 【例題1,2,3】と同様なので、説明は省略させてもらいました。）
EX4-7-2 \( \bbox[#CFFFCF]{ Lagrange \ resolvent } \) を利用した最小多項式の次数低減の流れ
【step1】剰余群\([ \ S_4/A_4 \cong C_2 \ ]\) 巡回拡大\([ \ F_1/F_0 \ ]\) \(g_1(x) \)の計算\begin{align} \setCounter{29} & h_0=\prod_{\sigma_i \in \ A_4}\sigma_i(x-v)=\bbox[#FFC0CB]{(x-v_1)}(x-v_4)...(x-v_{21})(x-v_{24}) \notag \\ &h_1=\prod_{\sigma_i \in \ (S_4-A_4)}\sigma_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)...(x-v_{22})(x-v_{23}) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ & \bbox[#CFFFCF]{ \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} } \quad ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_0[x] \\ t_1 \ \in \ F_0(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_1=a_1^2-A_1=0 \quad A_1 \in F_0 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_1[x]=F_0(a_1)[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ & \bbox[#FFFF00]{ g_0(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=0\\ B_1=0 \end{array} \right. } \\ \end{align}
【step2】剰余群\([ \ A_4/V_4 \cong C_3 \ ]\) 巡回拡大\([ \ F_2/F_1 \ ]\) \(g_2(x) \)の計算
\begin{align} & h_0=\prod_{\sigma_i \in \ V_4}\sigma_i(x-v)=\bbox[#FFC0CB]{(x-v_1)}(x-v_8)(x-v_{17})(x-v_{24}) \notag \\ &h_1=(x-v_4)(x-v_{12})(x-v_{13})(x-v_{21}) \notag \\ &h_2=(x-v_5)(x-v_9)(x-v_{16})(x-v_{20}) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\bbox[#CFFFCF]{ \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} } \quad \begin{array}{l} ( \ Lagrange \ resolvent \ ) \\ \\ \quad \bbox[#00FFFF]{ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 } \end{array} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_1[x] \\ \{t_1,t_2\} \ \in \ F_1(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_2=a_2^3-A_2=0 \quad A_2 \in F_1 \\ \{\tilde{t_1},\tilde{t_2} \} \ \in \ F_2[x]=F_0(a_1,a_2)[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&(\omega^2)^2\\ 1&\omega&(\omega^2)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2} \\ g_2(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_2[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ & \bbox[#FFFF00]{ g_1(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_2(x)=0\\ B_2=0 \end{array} \right. } \\ \end{align}
【step3】剰余群\([ \ V_4/N \cong C_2 \ ]\) 巡回拡大\([ \ F_3/F_2 \ ]\) \(g_3(x) \)の計算
\begin{align} & h_0=\prod_{\sigma_i \in \ N}\sigma_i(x-v)=\bbox[#FFC0CB]{(x-v_1)}(x-v_{8}) \notag \\ &h_1=\prod_{\sigma_i \in \ (V_4-N)}\sigma_i(x-v)=(x-v_{17})(x-v_{24}) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ & \bbox[#CFFFCF]{ \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} } \quad \begin{array}{l} ( \ Lagrange \ resolvent \ ) \\ \end{array} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_2[x] \\ t_1 \ \in \ F_2(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_3=a_3^2-A_3=0 \quad A_3 \in F_2 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_3[x]=F_0(a_1,a_2,a_3)[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_2(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_3(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_3[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ & \bbox[#FFFF00]{ g_2(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(x)=0\\ B_3=0 \end{array} \right. } \\ \end{align}
【step4】剰余群\([ \ N/e \cong C_2 \ ]\) 巡回拡大\([ \ F_4/F_3 \ ]\) \(g_4(x) \)の計算
\begin{align} & h_0=\sigma_1(x-v)=\bbox[#FFC0CB]{(x-v_1) } \notag \\ &h_1=\sigma_8(x-v)=(x-v_{8}) \notag \\ \notag \\ & \bbox[#CFFFCF]{ \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} } \quad \begin{array}{l} ( \ Lagrange \ resolvent \ ) \\ \end{array} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_3[x] \\ t_1 \ \in \ F_3(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_4=a_4^2-A_4=0 \quad A_4 \in F_3 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_4[x]=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4)[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_4(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_4[x] \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ & \bbox[#FFFF00]{ g_3(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_4(x)=0\\ B_4=0 \end{array} \right. } \\ \end{align}
これは、前頁のFig.4-1の黄色の拡大系列が、緑色の巡回拡大と残りの黄色の拡大系列に分裂する状況と似ていませんか？ 次ページに続く
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