【例題4】の解法手順
EX4-1\begin{align*} &f(x)=x^4+4x+2 \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \\ & v: \ Primitive \ element \\ & \qquad v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1={{\alpha }^{4}}+4\alpha +2=0\\ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ r_4= \alpha+\beta+\gamma+\delta =0\\ r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)=v^{24}-160v^{20}+5440v^18+30080v^{16}+...\\ \quad...+700091596800v^2+4691625312256\\ \]
\begin{align*} &V(x): \ irreducible \ polynomial \\ \\ &\therefore \ g_0(x) \equiv V(x) \qquad deg(g_0(x))=24\\ \\ &g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \\ \end{align*}
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v), \ \beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v)\\ \\ &roots \ of \ g_0(x) \ ( \ =V(x) \ )\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{24}=v_{24}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &S_4: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &composition \ series \quad S_4 \rhd \ A_4 \rhd \ V_4 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x]\qquad deg(g_1(x))=12 \\ \quad \\ B_1=a_1^2+17510400\]
\[g_2(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_2(x) \ \in \ F_1(a_2)[x] \qquad deg(g_2(x))=4\\ \quad \\ B_2=a_2^3-\frac{14 {a_1} \omega }{27}-2304 \omega -\frac{89 {a_1}}{135}+1088 \]
\[ g_3(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_3(x) \ \in \ F_2(a_3)[x] \qquad deg(g_3(x))=2\\ \]
\[ B_3=a_3^2-\biggl( \frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}\\ \qquad \qquad +\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \biggr)\\ \]
\[ g_4(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_4(x) \ \in \ F_3(a_4)[x] \qquad deg(g_4(x))=1\\ \]
\[ B_4=a_4^2-\biggl(-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13} \\ \qquad \qquad -\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26}\biggr)\\ \]
\begin{align*} &v=v(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \ \in \ F_4=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \beta=\beta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \gamma=\gamma(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \delta=\delta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
EX4-4の計算
さて、次に前節の \(g_0(v)\) で定義された代数体 \(F_0(v)\) の中で、 \(f(x)\) を因数分解します。
計算手続き自体は【例題2,3】と全く同じです。結果は式(16)の様になります。。。。
。。。と言っても、求められた解 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\) はそれぞれ \(v\) の23次多項式となっていて、
数字の桁数が大きすぎて簡単に表示できないので省略しました。
\begin{align} \setCounter{15} &fg:factor(f(x),g_0(v)); \quad \rightarrow \quad solve(fg,x); \notag \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &x_1=-\frac{801167701943012874015343807v^{23}}{10126546386824616812436636833146824818688}+... \notag\\ &\qquad \quad .................. \notag \\ &\qquad \quad ....-\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088}=x_1(v) \\ \notag \\ &x_2=x_2(v),\quad x_3=x_3(v),\quad x_4=x_4(v) \notag\\ \end{align}
EX4-5の計算
前節で \(f(x)\) の4根 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\) を代数体 \(F_0(v)\) の中で求める事が出来ましたが、
\(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \ \}\) との対応が未だ取れておりません。対応仕方は \(4!=24\) 通りあります。
対応関係を求める準備として、下記の対称群 \(S_4\) の記号を導入します。
\begin{align} \sigma_{10}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta \\ \beta &\gamma&\delta&\alpha \end{pmatrix} \equiv \ \bbox[#FFFF00]{ [2,3,4,1] }\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{1}=&[1,2,3,4] & \sigma_{2}=&[1,2,4,3] & \sigma_{3}=&[1,3,2,4] & \sigma_{4}=&[1,3,4,2] \notag \\ \sigma_{5}=&[1,4,2,3] & \sigma_{6}=&[1,4,3,2] & \sigma_{7}=&[2,1,3,4] & \sigma_{8}=&[2,1,4,3] \notag \\ \sigma_{9}=&[2,3,1,4] & \sigma_{10}=& \bbox[#FFFF00]{[2,3,4,1] } & \sigma_{11}=&[2,4,1,3] & \sigma_{12}=&[2,4,3,1] \notag \\ \sigma_{13}=&[3,1,2,4] & \sigma_{14}=&[3,1,4,2] & \sigma_{15}=&[3,2,1,4] & \sigma_{16}=&[3,2,4,1] \notag \\ \sigma_{17}=&[3,4,1,2] & \sigma_{18}=&[3,4,2,1] & \sigma_{19}=&[4,1,2,3] & \sigma_{20}=&[4,1,3,2] \notag \\ \sigma_{21}=&[4,2,1,3] & \sigma_{22}=&[4,2,3,1] & \sigma_{23}=&[4,3,1,2] & \sigma_{24}=&[4,3,2,1] \notag \\ \end{align}
置換操作 \(\sigma_i\) の意味を簡単に説明します。 \(\sigma_i\) は上段の数字や文字の並びを下段の数字や文字の並びに変化させるという 操作を表しています。 従ってこの \(\sigma_i\) を使うと、式(18)で定義された \(w\) の中の \(x_j\) の \(" \ j \ "\) が、\(\sigma_i\)によって変化をうけると考えてください。式(17)では式の簡略化の為に、\(\sigma_{10}\) の下段の数値の並びだけを 表示した \([2,3,4,1]\) という記号を導入しました。 この様な \(\sigma_i\) による \(w\) に対する変換の結果は、式(19)の様になります。
\begin{align} &\qquad \qquad w \equiv x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_4 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3+4x_4 \\ \sigma_2 (w)=w_2=x_1+2x_2+3x_4+4x_3 \\ \quad ...... \\ \bbox[#FFFF00]{ \sigma_{10} (w)=w_{10}=x_2+2x_3+3x_4+4x_1 } \\ \quad ...... \\ \sigma_{24} (w)=w_{24}=x_4+2x_3+3x_2+4x_1 \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} w_1=\frac{801167701943012874015343807 {{v}^{23}}}{2531636596706154203109159208286706204672}+.. +\frac{2718803338720300088760700554765}{760936627113512769980704448272}\\ \qquad ....... \\ \bbox[#FFFF00]{w_{10}= v } \\ \qquad ....... \\ w_{24}=-\frac{801167701943012874015343807 {{v}^{23}}}{2531636596706154203109159208286706204672}+.. -\frac{2718803338720300088760700554765}{760936627113512769980704448272} \end{array} \right. \\ \end{align}
式(20)より、\(w_i\) の値が \(v\) になるのは、\(w\) に \(\sigma_{10}\) を施した 時である事が判りました。 従って不明であった対応関係は、\( \bbox[#FFFF00]{[ \ \alpha=x_2, \ \beta=x_3, \ \gamma=x_4, \ \delta=x_1 \ ] } \)で ある事が判りました。 改めて4根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta \ \}\) を \(v\) の多項式で表現すると以下の式となります。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(v), \qquad \beta=\beta(v), \qquad \gamma=\gamma(v) \\ \delta=-\frac{801167701943012874015343807v^{23}}{10126546386824616812436636833146824818688}+... -\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
式(21)で4根が \(v\) の多項式で表現できたので、「最小多項式 \(g_0(x)=0\) の根」に関して考えてみます。
もともと、\(v\) は前節の式(8)(9)の多元連立方程式から得られた式(10)を満足しています。 従って \(v\) は、式(13)で定義された \(g_0(x)\) の一つの根です。
更に \(g_0(x)\) は \(F_0\) 上の多項式ですから、根 \(v\) を定義している式(3)の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) に関して対称式でなければなりません。 即ち \(g_0(x)\) は \(S_4\) の全ての元の変換操作に対して不変でなければなりません。
この要請から \(g_0(x)\) の24根は、以下の式(22)で定義される \(\{v_1(=v),v_2,..,v_{24} \}\) だと予想されます。 この \(\{v_i\}\) を使って、式(23)の様に\(g_0(x)\) を定義すれば、 \(g_0(x)\) は、\(S_4\) の変換に対して不変と なる事が判ります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)=v_1=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta \\ \sigma_2 (v)=v_2=\alpha+2\beta+3\delta+4\gamma \\ \qquad .....\\ \sigma_{24} (v)=v_{24}= \delta+2\gamma+3\beta+4\alpha \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &g_0(x) =(x-v_1)(x-v_2)........(x-v_{24}) \\ \notag \\ &\sigma_i(g_0(x))=g_0(x) \quad [i=1,2,..,24] \quad ( \ S_4で不変 \ )\\ \end{align}
式(22)で定義される \(\{v_1,v_2,...,v_{24}\}\) が、\(g_0(x)\) の根である事を確認します。
先ず、式(22)の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta \}\) に、式(21)を代入した結果が、式(25)となります。
これら \(v_i\) を、式(15)の \(g_0(x)\) に代入して計算すると、全てゼロとなり根である事が判ります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)={v_1}=v \\ \sigma_2 (v)=v_2=\frac{801167701943012874015343807 {{v}^{23}}}{2531636596706154203109159208286706204672}+..... \\ \qquad ............ \\ \sigma_{23} (v)=v_{23}=-\frac{801167701943012874015343807 {{v}^{23}}}{2531636596706154203109159208286706204672}+.....\\ \sigma_{24} (v)={v_{24}}=-v \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &g_0(v_1)=g_0(v_2)=....=g_0(v_{23})=g_0(v_{24})=0\quad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \end{align}
次ページに続く
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revision2 : 2023/07/27
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