【例題1】の解法手順（RT1&RT4）
EX1-RT1-1\begin{align*} &f(x)=3x^3+3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\begin{align*} v_{1}=\alpha+2\beta+3\gamma \qquad v_{2}=\alpha+2\gamma+3\beta \\ v_{3}=\beta+2\alpha+3\gamma \qquad v_{4}=\beta+2\gamma+3\alpha\\ v_{5}=\gamma+2\alpha+3\beta \qquad v_{6}=\gamma+2\beta+3\alpha \end{align*} \begin{align*} V(x)=&(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})\\ \times&(x-v_{4})(x-v_{5})(x-v_{6}) \end{align*}
\[V(x, \ \alpha,\beta,\gamma): symmetric \ function \ in \{\alpha,\beta,\gamma\} \] \[\qquad \qquad \Downarrow\] \[V(x, \ e_{1},e_{2},e_{3})\] \[\{e_1,e_2,e_3\}: elementary \ symmetric \ functions\]
\[g_{0}(x)=x^6+18x^4+81x^2+135 \]
\[ \qquad g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\begin{align*} P_{\alpha}(x)=V(x)&\cdot \big( \frac{\gamma }{x-{v_6}}+\frac{\gamma }{x-{v_5}}+\frac{\beta }{x-{v_4}}\\ &+\frac{\beta }{x-{v_3}}+\frac{\alpha }{x-{v_2}}+\frac{\alpha }{x-{v_1}}\big)\\ \end{align*} \[\alpha=\left.\frac{P_\alpha(x)}{V'(x)}\right|_{x=v} \quad The \ same \ holds \ for \ \beta\ and \ \gamma \]
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
（覚書1:Lagrange補間式）
（覚書2:ユークリッド互除法に関連して）
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）RT1-3,RT1-4の計算
\(V(x)\) の計算をしてゆきます。
当然ですが、\(V(x)\) の \(x\) の係数は全て \([\ \alpha,\beta,\gamma \ ]\) の対称式となります。従って各々の係数は、
基本対称式 \([e_1,e_2,e_3]\) に変換できます。この計算は高校数学でもよく計算させられましたが結構厄介です。
やはり、代数計算ソフトmaxima等を使う必要があると思います。
下に、プログラムの一部を切り抜いたものを示します。
\begin{align} &(L1) \ load(sym)$ \notag \\ &......\notag \\ \notag \\ &(L2) \ c4:coeff \ (V(x),x,4); \notag \\ &\qquad \qquad \rightarrow \quad 58 {{\gamma }^{2}}+122 \beta \gamma +122 \alpha \gamma +58 {{\beta }^{2}}+122 \alpha \beta +58 {{\alpha }^{2}} \notag \\ \notag \\ &(L3) \ ct:tcontract \ (c4,[\alpha,\beta,\gamma]); \qquad \rightarrow \quad 122 \alpha \beta +58 {{\alpha }^{2}} \notag \\ &(L4) \ ce:elem \ ([3],ct,[\alpha,\beta,\gamma]); \qquad \rightarrow \quad 6e_2+58e_1^2 \notag \\ \end{align}
ごく簡単に上記プログラムの説明をします。
(L1) 対称式関係のsymパッケージをロードしなさいという命令。プログラムの頭に書く事。
(L2) \(V(x)\)の\(x^4\)の係数をc4とせよというcoeff命令
(L3) tcontractと言う変換命令でc4をctと言う値にせよという命令
(L4) elemと言う変換命令でctをceと言う値にせよという命令
実質上記命令の(L3)(L4)の2行の命令で、対称式c4を基本対称式ceに変換しております。
まず、式(6)の \(v_i\) の中に式(5)を代入すると、\(V(x)\) は式(12)となります。 上記(L2)の命令を使って、 \(x^i\) の係数を \(c_i\) として抽出したものが式(13)です。
\begin{align} \setCounter{11} &V(x)=c_6x^6+c_5x^5+c_4x^4+c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} c_6=1\\ c_5=-12 \gamma -12 \beta -12 \alpha \\ c_4=58 {{\gamma }^{2}}+122 \beta \gamma +122 \alpha \gamma + 58 {{\beta }^{2}}+122 \alpha \beta +58 {{\alpha }^{2}}\\ c_3=-144 {{\gamma }^{3}}-480 \beta {{\gamma }^{2}} -480 \alpha {{\gamma }^{2}}-480 {{\beta }^{2}} \gamma -1008 \alpha \beta \gamma \\ \qquad -480 {{\alpha }^{2}} \gamma -144 {{\beta }^{3}} -480 \alpha {{\beta }^{2}}-480 {{\alpha }^{2}} \beta -144 {{\alpha }^{3}}\\ \\ [ c_2,c_1,c_0 \ は長い式なので省略]\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} c_6=1\\ c_5=-12e_1\\ c_4=6e_2+58e_1^2\\ c_3=-48e_1e_2-144e_1^3\\ c_2=9e_2^2+138e_1^2e_2+193e_1^4\\ c_1=-36e_1e_2^2-168e_1^3e_2-132e_1^5\\ c_0=27e_3^2-18e_1e_2e_3+4e_1^3e_3+4e_2^3+35e_1^2e_2^2+72e_1^4e_2+3e_1^6\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
さて \(f(x)\)の基本対称式とは以下の式となります。（高校数学でもおなじみだと思います）
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} e_1=\alpha+\beta+\gamma=0\\ e_2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3\\ e_3=\alpha\beta\gamma=-1 \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &V(x)=x^6+18x^4+81x^2+135\equiv g_0(x) \ \in F_0[x] \\ \notag \\ &\quad \therefore \ g_0(x): \ minimal \ polynomial \ of \ on \ F_0 \\ \end{align}
【注】\(V(x) \ (=g_0(x))\) は根として\(v \ (=v_1\ )\)を含んでいることを覚えておいてください。
次ページに続く
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