【例題1】の解法手順の後半 RT4
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）
【覚書】冪根の実態は？
前頁の式(91)に示されている二項方程式とその冪根に関して少し説明させてください。二項方程式 \([ \ B_0=0, \ B_1=0 \ ]\) の冪根 \(\{ \ a_0, \ a_1\ \}\) は、式(93)(98)の 緑に色付けされた式で表されています。 ここで注意しなければならないのは、例えば式(98)の冪根 \(\sqrt{-135}\) は、\(\pm \sqrt{135}i\) の2通りを意味しているという事です。
\begin{align} \setCounter{92} &B_0=a_0^2-A_0=0 \qquad A_0=-\frac{3}{4} \qquad \bbox[#BDFF4F]{ a_0=\sqrt{A_0}=\frac{\sqrt{-3}}{2} }\\ & \qquad a_0=\frac{\sqrt{-3}}{2} \quad \longrightarrow \quad \therefore \ \bbox[#FFFF00]{ a_{01}}=\frac{\sqrt{3}i}{2}, \quad \bbox[#FFFF00]{ a_{02} }=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\\ \notag \\ &\varOmega = \omega^2+ \omega +1 =0 \qquad \omega=-\frac{1}{2}+a_0\\ & \therefore \quad \bbox[#FFFF00]{\omega_1 }=-\frac{1}{2}+a_{01}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\\ &\qquad \bbox[#FFFF00]{ \omega_2 }=-\frac{1}{2}+a_{02}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}\\ \notag \\ &B_1=a_1^2-A_1=0 \qquad A_1=-135 \qquad \bbox[#BDFF4F]{ a_1=\sqrt{A_1}=\sqrt{-135} }\\ \notag \\ & \qquad a_1=\sqrt{-135} \quad \longrightarrow \quad \therefore \ \bbox[#FFFF00]{ a_{11} }=\sqrt{135}i, \quad \bbox[#FFFF00]{ a_{12} }=-\sqrt{135}i\\ \end{align}
冪根 \(\{ \ a_0, \ a_1\ \}\) は、 上記式(94)(99)の様に、 \(\{a_{01},a_{02}\},\{a_{11},a_{12}\}\) の2通り づつありますので、合計4通りの組み合わせが考えられます。黄色く色付けした4点と共に、\(\{a_{01},a_{02}\}\) によって 決まる \(\omega \) の値 \(\{\omega_1,\omega_2\}\) も複素平面上の位置を【Fig.4-5】で示しました。
残る冪根 \(a_2\) は、式(101)に示されるように \(\{a_0,a_1\}\) の値に依存しております。
更に、二項方程式 \([ \ B_2=0 \ ]\) は3次方程式なので、一組の \( \ \{a_{0j},a_{1k}\}, (j,k)=(1,2) \ \) に対応して \(a_2\) は3つの値を持つことになるので、総計12組の冪根の値の組み合わせが考えられます。 これら12個の \(a_2\) の値を、式(103)～(106)で定義するとともに、複素平面上での位置を【Fig4-5】に示しておきました。
\begin{align} &B_2=a_2^3-A_2=0 \qquad A_2=3\omega+\frac{a_1+3}{2}=3a_0+\frac{a_1}{2} \\ &\quad \bbox[#BDFF4F]{ a_2=\sqrt[3]{A_2}=\sqrt[3]{3\omega+\frac{a_1+3}{2}}=\sqrt[3]{3a_0+\frac{a_1}{2}} } \\ \notag \\ &A_{2jk}=3a_{0j}+\frac{a_{1k}}{2} \quad (j,k)=(1,2) \quad \rightarrow \quad a_{2jk}=\sqrt[3]{A_{2jk}}\\ \end{align} \begin{align} &A_{211}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}+1) \cdot (i) &\rightarrow &\quad a_{211}= \bbox[#FFFF00]{ \{ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \} }\\ &A_{212}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}-1) \cdot (-i) &\rightarrow &\quad a_{212}= \bbox[#FFFF00]{ \{ \mu_1,\mu_2,\mu_3 \} }\\ &A_{221}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}-1) \cdot (i) &\rightarrow &\quad a_{221}= \bbox[#FFFF00]{\{ \mu_4,\mu_5,\mu_6 \} }\\ &A_{222}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}+1) \cdot (-i) &\rightarrow &\quad a_{222}= \bbox[#FFFF00]{ \{ \lambda_4,\lambda_5,\lambda_6 \}}\\ \end{align} \begin{align} &r_1=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}+1)} \fallingdotseq 2.0334 \qquad r_2=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{5}-1)} \fallingdotseq 1.47536 \notag \\ \end{align}
| \(a_0\) | \(a_1\) | \(a_2\) | \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(a_{01}\) | \(a_{11}\) | \(\lambda_1\) | \(B_z\) | \(C_z\) | \(A_z\) |
| \(2\) | \(\lambda_2\) | \(A_z\) | \(B_z\) | \(C_z\) | ||
| \(3\) | \(\lambda_3\) | \(C_z\) | \(A_z\) | \(B_z\) | ||
| \(4\) | \(a_{12}\) | \(\mu_1\) | \(B_z\) | \(A_z\) | \(C_z\) | |
| \(5\) | \(\mu_2\) | \(C_z\) | \(B_z\) | \(A_z\) | ||
| \(6\) | \(\mu_3\) | \(A_z\) | \(C_z\) | \(B_z\) | ||
| \(7\) | \(a_{02}\) | \(a_{11}\) | \(\mu_4\) | \(A_z\) | \(B_z\) | \(C_z\) |
| \(8\) | \(\mu_5\) | \(B_z\) | \(C_z\) | \(A_z\) | ||
| \(9\) | \(\mu_6\) | \(C_z\) | \(A_z\) | \(B_z\) | ||
| \(10\) | \(a_{12}\) | \(\lambda_4\) | \(B_z\) | \(A_z\) | \(C_z\) | |
| \(11\) | \(\lambda_5\) | \(A_z\) | \(C_z\) | \(B_z\) | ||
| \(12\) | \(\lambda_6\) | \(C_z\) | \(B_z\) | \(A_z\) |
以上で【例題1】の説明を終わりますが、「冪根は複素数面上の幾つかの点を代表する表記だ」と考えてはいかがでしょうか。 ガロア理論による、「冪根を使って方程式の根を表示する」方式は、 根の構造の様なものが浮き出てくるような気がします。
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