【例題1】の解法手順の後半 RT4
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）
RT4-3 \(F_2/F_1\)の計算: 最小多項式 \(g_2(x)\) を求める
計算の手順は、前節のRT4-2と全く同じです。
計算の流れを下記の四角枠【step2】に示しました。
但し、今回のガロア拡大\(F_2/F_1\)の
ガロア群は\(A_3\) であるため、
3次の二項方程式が対応する事に
なります。
\begin{align} \setCounter{48} &h_0=(x-v_1), \quad h_1=(x-v_4), \quad h_2=(x-v_5) \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \quad \begin{array}{l} ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \\ \quad \bbox[#00FFFF]{ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 } \end{array} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_1[x] \\ \{t_1,t_2\} \ \in \ F_1(v)[x] \end{array} \right. \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} B_2=a_2^3-A_2=0 \quad A_2 \in F_1 \\ \{\tilde{t_1},\tilde{t_2} \} \ \in \ F_2[x]=F_0(a_1,a_2)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&(\omega^2)^2\\ 1&\omega&(\omega^2)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2} \\ g_2(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_2[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_1(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_2(x)=0\\ B_2=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
今回は、ガロア群が\(A_3\) で位数3の巡回群なので、今回は前節とは異なり3つの \(\{h_0,h_1,h_2\}\) を定義します。 式(49)で定義された \(\{h_0,h_1,h_2\}\) を計算すると以下の様になります。
注意しなければならない事として、今回は \(F_1\) 上の計算なので、 全ての計算は \((mod \ g_1(v))\) で計算する必要があります。
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} h_0&=(x-v_1)=x-v\\ h_1&=(x-v_4)=x-(v^4/6+5v^2/2-v/2+6) \\ &=x-{{v}^{2}}+\frac{{a_1} v}{6}+\frac{v}{2}-6 \quad (mod \ g_1(v))\\ h_2&=(x-v_5)=x-(-v^4/6-5v^2/2-v/2-6)\\ &=x+{{v}^{2}}-\frac{{a_1} v}{6}+\frac{v}{2}+6 \quad (mod \ g_1(v)) \end{array} \right. \end{align}
\begin{align} \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} &=\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&\omega^2&\omega \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} h_0+h_1+h_2 \\ h_0+\omega h_1 + \omega^2 h_2 \\ h_0+\omega^2 h_1 + \omega h_2 \end{bmatrix} \\ \notag \\ &= \begin{bmatrix} x \\ -\omega(\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-\frac{{a_1} v}{9}+4)-\frac{{{v}^{2}}}{3}+\frac{{a_1} v}{18}-\frac{v}{2}-2\\ \omega(\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-\frac{{a_1} v }{9}+4 ) +\frac{{{v}^{2}}}{3}-\frac{{a_1} v}{18}-\frac{v}{2}+2 \end{bmatrix}\\ \notag \\ 但し \varOmega&=\omega^2+\omega+1=0 \\ \end{align}
ここで上式の中に使われている \(\omega\) は、【APX2】で定義された \(Q(a_0)\)の数で、1の原始3乗根です。従って \(\omega\) は式(57)を満足する数です。\(\varOmega=0\) は、以後たびたび出てくる重要な式です。
少し本筋から離れますが、後で必要となる \(\{h_0,h_1,h_2\}\) と \(\{t_0,t_1,t_2,t_1 \cdot t_2 \}\) に対する \(\{\sigma_1,\sigma_4,\sigma_5\}\) の変換表を以下に示します。| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(h_0)\) | \(\sigma_i(h_1)\) | \(\sigma_i(h_2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) | \(h_2\) |
| \(\sigma_4\) | \(h_1\) | \(h_2\) | \(h_0\) |
| \(\sigma_5\) | \(h_2\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(t_0)\) | \(\sigma_i(t_1)\) | \(\sigma_i(t_2)\) | \(\sigma_i(t_1 t_2)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(t_0\) | \(t_1\) | \(t_2\) | \(t_1 t_2\) |
| \(\sigma_4\) | \(t_0\) | \(\omega^2 t_1 \) | \(\omega t_2\) | \(t_1 t_2\) |
| \(\sigma_5\) | \(t_0\) | \(\omega t_1\) | \(\omega^2 t_2\) | \(t_1 t_2\) |
上の2つの表の作成過程で【表4-6】の左上の白い部分を参照して計算した3例を下に示します。
\begin{align} \sigma_4(h_2)&=\sigma_4(x-v_5)=x-\sigma_4(v_5)=x-v_1=h_0 \\ \notag \\ \sigma_4(t_2)&=\sigma_4\left( \frac{h_0+\omega^2 h_1 + \omega h_2}{3} \right) =\frac{1}{3} \sigma_4 \left( h_0+\omega^2 h_1 + \omega h_2 \right) \notag \\ &=\frac{1}{3} \left( \sigma_4(h_0)+\omega^2 \sigma_4(h_1) + \omega \sigma_4(h_2) \right) \notag \\ &=\frac{1}{3}(h_1+\omega^2 h_2+ \omega h_0 ) =\frac{\omega}{3}(h_0+\omega^2 h_1+ \omega h_2)=\omega t_2\\ \notag \\ \sigma_4(t_1t_2)&=\sigma_4(t_1) \cdot \sigma_4(t_2) =(\omega^2 t_1) \cdot (\omega t_2)=\omega^3t_1t_2 \notag \\ &=t_1 \cdot t_2 \quad ( \ \because \ \omega^3=1 \ ) \\ \end{align}
上記2つの表から判る事は、\(\{t_1,t_2\}\) は \(\{\sigma_4,\sigma_5\}\) の変換で不変ではありませんが、 \(\omega^3=1\) ですから、\(\{t_1^3,t_2^3\}\) は \(A_3\) の変換で 不変である事がわかります。
更に面白い事に、\(t_1 \cdot t_2\) も \(A_3\) の変換で 不変です。従って、まとめると以下のような結論になります。
\begin{align} & t_0 \ \in F_1[x] \qquad \{ t_1, t_2 \} \notin F_1[x] \qquad t_1 \cdot t_2 \ \in F_1 \\ \notag \\ &\sigma_4(t_2^3)=\sigma_4(t_2)^3=(\omega t_2)^3=\omega^3 \cdot t_2^3 =t_2^3 \quad etc.\\ \notag \\ &\therefore \ \{\ t_1^3, \ t_2^3 \ \} \in F_1[x] \end{align}
では、実際に次ページで計算をしてみましょう。 次ページに続く
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