【例題1】の解法手順の後半 RT4
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）RT4-4の計算
前節の式(84)で漸く \(v\) の最小多項式 \(g_2(x)\) の次数が1次にまで減少し簡単に解けるようになりました。 \(g_2(x)=0\) の解が最終的に求めたい \(v\) の値です。この値を下式(86)の \(\{ \ \alpha,\beta,\gamma \ \}\) の \(v\) に代入すれば、\(f(x)\) の根を求める事が出来ます。以下にその計算結果と 今まで得られた式を列挙しておきます。
\begin{align} \setCounter{85} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(v)=\frac{v^4+15v^2-9v+36}{18} \\ \beta=\beta(v)=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma=\gamma(v)=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18} \end{array} \right. \\ \notag \\ &v=-a_2+a_2^2\left(\ \frac{\omega }{3}-\frac{{a_1}}{18}+\frac{1}{6}\right) \\ \end{align}
\begin{align} &\alpha=\omega\left(-\frac{a_1a_2^2}{54}-\frac{a_2^2 }{6}+\frac{a_2}{3}\right)+\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{54}-\frac{a_2^2}{6}+\frac{2a_2}{3}\\ &\beta=\omega\left(\frac{a_1a_2^2}{27}-\frac{2a_2}{3}\right)+\frac{a_1a_2^2}{54}+\frac{a_2^2}{6}-\frac{{a_2}}{3} \\ &\gamma=\omega\left(-\frac{a_1a_2^2}{54}+\frac{a_2^2}{6}+\frac{a_2}{3}\right)-\frac{a_1a_2^2}{27}-\frac{a_2}{3} \\ \notag \\ &但し上の計算は\quad (mod \ B_2) \rightarrow (mod \ B_1) \rightarrow (mod \ \varOmega) \quad の順で剰余を取る事! \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} B_0=a_0^2-A_0=0 \qquad A_0=-\frac{3}{4} \qquad \qquad a_0=\sqrt{A_0} \\ B_1=a_1^2-A_1=0 \qquad A_1=-135 \qquad \quad a_1=\sqrt{A_1} \\ B_2=a_2^3-A_2=0 \qquad A_2=3\omega+\frac{a_1+3}{2} \quad a_2=\sqrt[3]{A_2}\\ \varOmega = \omega^2+ \omega +1 =0 \quad \omega=-\frac{1}{2}+a_0 \end{array} \right. \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=(x-v_1)....(x-v_6)=x^6+18x^4+81x^2+135\\ g_1(x)=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5)=x^3+9x+a_1\\ g_2(x)=(x-v_1)=x+a_2^2\left(-\frac{\omega}{3}+\frac{a_1}{18}-\frac{1}{6}\right)+a_2 \end{array} \right. \end{align}
以上で最終結果が得られたことになります。黄色く囲んだ部分が、\(f(x)\) の3根を冪根 \(\{ \ \omega, \ a_1, \ a_2 \ \}\) を使って表現できていることが判ると思います。
以上がガロア理論を使って方程式を解く計算手順でした。
RT4-4の検算
式(82)(83)(84)で方程式 \(f(x)\) の根は求められましたが、数値的にあっているかどうか 確かめてみます。この計算には、代数計算ソフト"maxima"では、allroots()という命令があります。 これを使って数値計算をしてみます。 \(\omega \rightarrow a_1 \rightarrow a_2\) の順で計算してゆきます。\(rw:allroots(\varOmega);\) と入力すると
\(rw=\left[ \ \omega =0.8660254037844386 \% i-0.5, \ \omega =-0.8660254037844386 \% i-0.5 \ \right]\)
とリスト出力されるので、\(\omega=0.8660254037844386 \% i-0.5\) とします。
\(ra_1:allroots(B_1);\) と入力すると
\(ra_1= \left[ a_1=11.61895003862225 \% i, \ a_1=-11.61895003862225 \% i\right] \)
とリスト出力されるので、\(a_1=11.61895003862225 \% i\) とします。
\(\omega\) と \(a_1\) の値が求まったので、この値を式(119) の \(B_2\) に 入力します。すると \(B_2=a_2^3-5.809475019311125 \% i-3 \left( 0.8660254037844386 \% i-0.5\right) -1.5\)
となります。この\(B_2\) を使って、
\(ra_2:allroots(B_2);\) と入力すると
\(ra_2=[ \ a_2=1.016700830808605\%i+1.760977495057993,\)
\(a_2=1.016700830808605\%i-1.760977495057993,\)
\(a_2=-2.03340166161721\%i \ ]\) と出力されるので
\(a_2=1.016700830808605\%i+1.760977495057993\)とします。
以上で \(\{ \ \omega, \ a_1, \ a_2 \ \}\) の数値が決まりました。この値を 式(116)～(118) に代入すると以下の3根が得られます。
\(\alpha=0.1610926773130429+1.754380959783721\%i\)
\(\beta=0.1610926773130429-1.754380959783722\%i\)
\(\gamma=-0.3221853546260854+6.579099405186113 \times 10^{-17}\%i \)
これとは全く別に \(f(x)\) の根を同様に数値的に求めてみます。
\(abc:allroots(f(x));\) と入力すると
\(abc=[ \ x=-0.3221853546260856,\)
\( x=0.1610926773130428+1.754380959783722\%i,\)
\(x=0.1610926773130428-1.754380959783722\%i \ ]\) と出力されます。
以上最終結果を比べると順不同ですが、数値的小数点以下15桁までは等しい事が判ります。
従って今まで長々と計算してきた結果は正しいと数値的にも確認できました。
ここで終了しても良いのですが、「冪根とは具体的には何なのか？」という疑問をお持ちになりませんか？ 冪根の実態を次頁で図示してみます。
振り返り
これまでの計算で重要な点を2つ書いておきます。【1】Fig4-2にあるように、黄色の部分の体の拡大とガロア群の縮小系列を3段目の 水色と緑色の巡回拡大に分解する事が最も重要です。
【2】ガロア理論を使った体の中での四則演算は、拡大体を規定する方程式による剰余計算を使って、元の次数を低減する事と、 逆元を求める計算が、主要な計算となります。
次ページに続く
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