【例題1】の解法手順の後半 RT4
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）RT4-1の計算の続き
(2) 方程式 \(f(x)\) のガロア群の決定
RT4-1で \(F_0(v)\) は ガロア拡大体と言う事が判ったので、体論より以下の事が言えます。
・ \(g_0(x)\) を \(v\) の \(F_0\) 上の最小多項式とし、\(n=deg \ g_0(x)\) とする。
・ \(g_0(x)\) の共役根全体を \([ \ v_1(=v),v_2,..v_n \ ]\) とする。
(1) ガロア拡大体\(F_0(v)\)に対し、\(F_0\)の元を不動にする \(\rho_i(v)=v_i\) を満たす
\(F_0\)上の自己同型写像 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{n}\}\) が存在する。
(2)\(F_0\)上の自己同型写像全体 \( \{ \rho_1,...,\rho_n\}\) は群をなす。
それを \(Gal(F_0(v)/F_0)\) で表し 「 \(F_0(v)/F_0\) のガロア群である」と言う。
(3) \(n=F_0(v)\)の拡大次数 \([F_0(v):F_0]=Gal(F_0(v)/F_0)\) の位数
(4) 拡大体 \(F_0(v)\) は \(f(x)\) の \(F_0\) 上の最小分解体である。
この時 \(Gal(F_0(v)/F_0)\) は 「\(f(x)\) の \(F_0\) 上のガロア群である」とも言う。
(2-1) \( \quad Gal(F_0(v)/F_0): \ \bbox[#FFFF00]{Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0} \)
「上記四角枠の中の(1)(2)で主張された「\(F_0\)上の自己同型写像 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{n}\}\) が存在し、群をなす。」とは、具体的にはどの様なものなのか？結論は、「自己同型写像全体 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{6}\}=\)対称群\(S_3\) 」です。
上記四角枠の中の(1)で主張された式 \(\rho_i(v)=v_i\)と、RT1-6の(66)式 \(v_i=v_i(v)\) を 組み合わせると、自己同型写像 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{6}\}\) の候補として式(6)が考えられます。
以下の計算で、この定式化が上記四角枠の中の主張を満足している事を確認してゆきます。
\begin{align} \setCounter{5} \rho_{1}(v)=&v_1=v_1(v)=v \notag \\ \rho_{2}(v)=&v_2=v_2(v)=-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \notag \\ \rho_{3}(v)=&v_3=v_3(v)= \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6 \\ \rho_{4}(v)=&v_4=v_4(v)= \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}+6 \notag \\ \rho_{5}(v)=&v_5=v_5(v)= -\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}-\frac{v}{2}-6 \notag \\ \rho_{6}(v)=&v_6=v_6(v)= -v \notag \\ \end{align}
先ず、「自己同型写像 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{6}\}\) は群をなす」事を確かめてみます。
その為には、\( \rho_i \circ \rho_j=\rho_k \) なる積表を計算する必要があります。
その際、\(\rho_i\)は 「\(F_0\) 上の自己同型写像」なので、\(F_0\)の元（即ち\(Q\)の元）は不動にする事に注意して、 簡単な例 \( \rho_i(v^2+3v+2)\) で、\(\rho_i\) の写像の規則を確認してください。
\begin{align} \rho_i(v^2+3v+2)=&\rho_i(v^2)+\rho_i(3v)+\rho_i(2) \notag \\ =&\rho_i(v) \cdot \rho_i(v)+\rho_i(3) \cdot \rho_i(v)+\rho_i(2) \notag \\ =& v_i^2+3v_i+2 \\ \end{align}
\begin{align} \rho_3 \circ \rho_2(v)=&\rho_3(v_2) =\rho_3\bigl(-\frac{{{v}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}-6 \bigr)\\ \notag \\ =&-\frac{{{v_3}^{4}}}{6}-\frac{5 {{v_3}^{2}}}{2}+\frac{v_3}{2}-6=v_2(v_3) \\ \notag \\ =&-\frac{{{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{4}}}{6} -\frac{5 {{\left( \frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }^{2}}}{2} \notag \\ &\quad +\frac{\left(\frac{{{v}^{4}}}{6}+\frac{5 {{v}^{2}}}{2}+\frac{v}{2}+6\right) }{2}-6\\ =&-v^{16}/7776-(5v^{14})/648-v^{13}/648-(83v^{12})/432 \notag \\ &-(5v^{11})/72-(371v^{10})/144-(29v^9)/24-(5843v^8)/288 \notag \\ &-(92v^7)/9-(4639v^6)/48-(353v^5)/8-(26597v^4)/96 \notag \\ &-(387v^3)/4-(3547v^2)/8-(347v)/4-309 \notag\\ \notag \\ =& \ \frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-3 v+36}{6} \ = \ v_4 \qquad (\ mod \ g_0(v) \ ) \\ \notag \\ (8)(9)(11) \Rightarrow \quad &\rho_3 \circ \rho_2(v)=\rho_3(v_2)=v_2(v_3)=v_4=\rho_4(v)\\ \notag \\ \therefore \quad &\rho_3 \circ \rho_2(v)=\rho_4(v) \quad \Rightarrow \quad \rho_3 \circ \rho_2=\rho_4 \\ \notag \\ &\rho_3(v_2)=v_4\\ \end{align}
同型写像の積表を作成する過程で、式(13)(14)の二つの関係式が得られました。
（注）式(12)の中の \(\rho_3(v_2)\) と \(v_2(v_3)\) の添字の順序が逆です！
まず初めに、式(13)の関係を見てゆきます。全ての \((i,j)\)の組み合わせで計算して 積表を作成したのが以下の【表4-1】です。（注）\(\rho_i\)と\(\rho_j\)は、それぞれ表の第1列と第1行で示しております。
| \( i \backslash j \) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) |
| \(\rho_2\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) |
| \(\rho_3\) | \(\rho_3\) | \(\rho_4\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) |
| \(\rho_4\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) |
| \(\rho_5\) | \(\rho_5\) | \(\rho_6\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) |
| \(\rho_6\) | \(\rho_6\) | \(\rho_5\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_2\) | \(\rho_1\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
| \(\sigma_2\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) |
| \(\sigma_3\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) |
| \(\sigma_6\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) |
また、上記【表4-2】にRT1-2の式(4)で定義された対称群 \(S_3\) の積表を記しました。
注目していただきたいのは、「\(\rho_i\)と\(\sigma_i\)は全く同一の積表である」事です。
以上より自己同型写像全体 \( \{ \rho_1,\rho_2,..,\rho_6 \} \) は、対称群 \(S_3\) と同じである事が確認されました。
\( \quad Gal(F_0(v)/F_0): \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 =\{\rho_1,..,\rho_6\}= S_3\)
式(14)に関しては、次ページ後半で述べます。 次ページに続く
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