【例題1】の解法手順（RT2&RT4）
EX1-RT2-1\begin{align*} &f(x)=3x^3+3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\begin{align*} v_{1}=\alpha+2\beta+3\gamma \qquad v_{2}=\alpha+2\gamma+3\beta \\ v_{3}=\beta+2\alpha+3\gamma \qquad v_{4}=\beta+2\gamma+3\alpha\\ v_{5}=\gamma+2\alpha+3\beta \qquad v_{6}=\gamma+2\beta+3\alpha \end{align*} \begin{align*} V(x)=&(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})\\ \times&(x-v_{4})(x-v_{5})(x-v_{6}) \end{align*}
\[ Remainder \ Theorem \] \[ \qquad (1) \quad \alpha^3+3\alpha+1=0 \\ \qquad (2) \quad \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+3=0\\ \qquad (3) \quad \alpha+\beta +\gamma=0\]
\[ \quad divide \ V(x) \ by \ (1),(2),(3) \] \[ \qquad \qquad \Downarrow \] \[g_{0}(x)=x^6+18x^4+81x^2+135 \]
\[ \qquad g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1\\v\\v^2\\v^3\\v^4\\v^5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 24 & 0 & 0 & -6\\ 9 & -9 & 0 & -45 & -45 & 0\\ -72 & -9 & -288 & 9 & -9 & 90\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ \beta \\ \alpha \\ \alpha\beta \\ \alpha^2 \\ \alpha^2\beta \end{pmatrix} \end{align*}
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
（覚書1：RT2-4の計算の仕組み）
（覚書2：Lagrange補間式を使って根を求める計算法）
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）RT2-5の計算
前節RT2-4で \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) を求める事が出来ましたが、\(g_0(x)\) には
因数として\((x-v_1)=(x-v)\)を含んでいたので、\(g_0(v)=0\) となります。従って、拡大体 \(F_0(v)\) 上の
多項式は、\(g_0(v)\) で剰余を取ることにより、\(v^i\) の次数を5次以下に下げる事が出来ます。
又、\(f(x)\) の3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) の関係式も求める事が出来ました。従って、拡大体
\(F_0(\alpha,\beta,\gamma)\) 上の多項式は、式(32)で、\(r_3\) を主変数を \(\gamma\) の式として
剰余を取ることにより \(\gamma\) を消去できます。更に主変数を \(\beta\) とする \(r_2\) の
剰余を取ることにより、\(\beta\) の次数を1次以下出来ます。最後に \(\alpha\) を主変数とする
\(r_1\) の剰余を取ることにより、\(\alpha\) の次数を2次以下にする事が出来ます。
\begin{align} \setCounter{28} &g_0(x)=(x-v_1)(x-v_2)....(x-v_6)=x^6+18x^4+81x^2+135\\ &\therefore \quad g_0(v)=v^6+18v^4+81v^2+135=0\\ \notag \\ &f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+3x+1\\ &\therefore \quad \left\{ \begin{array}{l} r_1=\alpha^3+3\alpha+1=0\\ r_2=\beta^2+\alpha \beta+\alpha^2+3=0\\ r_3=\alpha+\beta+\gamma=0\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
体\(F_0(v)\) は6次元の線形空間、基底は \([1,v,v^2,v^3,v^4,v^5]\)
体\(F_0(\alpha,\beta,\gamma)\) も6次元の線形空間、基底は \([1,\beta,\alpha,\alpha\beta,\alpha^2,\alpha^2\beta]\)
であるという事が出来ます。この関係をFig4-1に図示してみました。
（注：\(\gamma\) が基底に入っていないのは、式(32) の \(\alpha+\beta+\gamma=0\) という関係より、\(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) は独立ではないので、\(\gamma\) を 消去して、基底を \(\{\alpha,\beta\}\) で表現しています。）
そこで体 \(F_0(v)\) の基底を体 \(F_0(\alpha,\beta,\gamma)\) の基底で表現する事を考えてみます。 例えば、\(v^5\) を例にして計算補法を以下に示します。
\begin{align} v^5=& \ (\alpha+2\beta+3\gamma)^3 \notag \\ =& \ 243 {{\gamma }^{5}}+810 \beta {{\gamma }^{4}}+405 \alpha {{\gamma }^{4}}+1080 {{\beta }^{2}} {{\gamma }^{3}}+1080 \alpha \beta {{\gamma }^{3}}+270 {{\alpha }^{2}} {{\gamma }^{3}} \notag \\ &+720 {{\beta }^{3}} {{\gamma }^{2}}+1080 \alpha {{\beta }^{2}} {{\gamma }^{2}}+540 {{\alpha }^{2}} \beta {{\gamma }^{2}}+90 {{\alpha }^{3}} {{\gamma }^{2}}+ 240 {{\beta }^{4}} \gamma \notag \\ &+480 \alpha {{\beta }^{3}} \gamma +360 {{\alpha }^{2}} {{\beta }^{2}} \gamma +120 {{\alpha }^{3}} \beta \gamma +15 {{\alpha }^{4}} \gamma +32 {{\beta }^{5}}+80 \alpha {{\beta }^{4}} \notag \\ &+80 {{\alpha }^{2}} {{\beta }^{3}}+40 {{\alpha }^{3}} {{\beta }^{2}}+10 {{\alpha }^{4}} \beta +{{\alpha }^{5}} \notag \\ \notag \\ =& \ -{{\beta }^{5}}-10 \alpha {{\beta }^{4}}-40 {{\alpha }^{2}} {{\beta }^{3}}-80 {{\alpha }^{3}} {{\beta }^{2}}-80 {{\alpha }^{4}} \beta -32 {{\alpha }^{5}} \quad (mod \ r_3) \notag \\ =& \ \left( -9 {{\alpha }^{4}}+63 {{\alpha }^{2}}-9\right) \beta +9 {{\alpha }^{5}}+99 {{\alpha }^{3}}-72 \alpha \quad (mod \ r_2) \notag \\ =& \ 90 {{\alpha }^{2}} \beta +9 \alpha \beta -9 \beta -9 {{\alpha }^{2}}-288 \alpha -72 \quad (mod \ r_1) \\ \end{align}
\begin{align} \begin{pmatrix} 1\\v\\v^2\\v^3\\v^4\\v^5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 24 & 0 & 0 & -6\\ 9 & -9 & 0 & -45 & -45 & 0\\ -72 & -9 & -288 & 9 & -9 & 90\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ \beta \\ \alpha \\ \alpha\beta \\ \alpha^2 \\ \alpha^2\beta \end{pmatrix}\\ \notag \\ \begin{pmatrix} 1\\ \beta \\ \alpha \\ \alpha\beta \\ \alpha^2 \\ \alpha^2\beta \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & 0 & -\frac{5}{3} & 0 & -\frac{1}{9} & 0\\ 2 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{6} & 0 & \frac{1}{18} & 0\\ 2 & 2 & \frac{1}{6} & \frac{5}{6} & 0 & \frac{1}{18}\\ -1 & -2 & \frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & 0 & -\frac{1}{18}\\ \frac{13}{2} & -2 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\v\\v^2\\v^3\\v^4\\v^5 \end{pmatrix}\\ \end{align}
RT2-6の計算
式(35)から \(\{ \ \alpha,\beta \ \}\) が \(v\) の多項式として求める事が出来ます。 更に \(\alpha+\beta+\gamma=0\) より \(\gamma\) も簡単に求める事が出来て以下の式となります。 これら\(\{ \ \alpha,\beta,\gamma \ \}\) の値をRT2-2式(4)に代入する事により \(\{ \ v_1,v_2,...,v_6 \ \}\) も容易に求める事が出来ます。\begin{align} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \notag \\ v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align}
最終計算まであっけなくたどり着きました。
剰余計算と基底変換の威力を実感していただけたでしょうか。
以上の計算方式は、下記の「退職後は素人数学者」氏の方法を単にそのまま書き写したもの でしかありません。
次ページに続く
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