数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-10】 \(F_2/F_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) を求める(1)
この節の計算は、上図Fig.3-3の緑の部分です。
今回適応するガロア群は剰余群 \(A_4/V_4 \) であり、3次の巡回群 \(C_3\) となります。 更に \(C_3\cong \{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) とすると、3つの要素 \(\kappa_i\) は剰余類なので、それぞれが \(S_4\) の4個の要素から成り立っています。
| \( i \backslash j \) | \(\kappa_1\) | \(\kappa_2\) | \(\kappa_3\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(\kappa_1\) | \(\kappa_2\) | \(\kappa_3\) |
| \(\kappa_2\) | \(\kappa_2\) | \(\kappa_3\) | \(\kappa_1\) |
| \(\kappa_3\) | \(\kappa_3\) | \(\kappa_1\) | \(\kappa_2\) |
\begin{align} &A_4/V_4 \cong C_3 \equiv \{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \kappa_1\equiv \{\rho_{1},\rho_{8},\rho_{17},\rho_{24}\} \\ \kappa_2\equiv \{\rho_{4},\rho_{12},\rho_{13},\rho_{21}\} \\ \kappa_3\equiv \{\rho_{5},\rho_{9},\rho_{16},\rho_{20}\} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
【step1】LRT(Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align}
&h_0=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_1}\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_8)(x-v_{17})(x-v_{24}) \notag \\
&h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_4)(x-v_{12})(x-v_{13})(x-v_{21}) \\
&h_2=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_3}\rho_i(x-v)=(x-v_5)(x-v_9)(x-v_{16})(x-v_{20}) \notag \\
\notag \\
&\begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1 \\
t_2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{3}
\begin{bmatrix}
1&1&1 \\
1&\omega&\omega^2\\
1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1 \\
h_2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{array}{l}
( \ t_1: \ Lagrange \ resolvent \ )\\
\\
\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \\
\end{array} \\
\end{align}
以上の準備の下、(10.3)で定義された \(x\) の多項式 \(\{h_0,h_1,h_2\}\) の性質を写像の観点から見てゆきます。
(10.5)に示すように \(\{h_0,h_1,h_2\}\) の係数を \(\{ \ ca_i,cb_i,cc_i \ [i=0,1,2,3] \ \}\) とします。
係数 \(\{ca_i,cb_i,cc_i\}\) は(10.6)の様にそれぞれ \(\{v \kappa_1,v\kappa_2,v\kappa_3\}\) に属する \(v_i\) で構成されています。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=x^4+ca_3x^3+ca_2x^2+ca_1x+ca_0 \\ h_1=x^4+cb_3x^3+cb_2x^2+cb_1x+cb_0\\ h_2=x^4+cc_3x^3+cc_2x^2+cc_1x+cc_0 \qquad \{ h_0,h_1,h_2 \}\ \in F_1(v)[x]\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\quad ca_3=-(v_{1}+v_{8}+v_{17}+v_{24}), \quad cb_3=-(v_{4}+v_{12}+v_{13}+v_{21}), \notag \\ & \quad cc_3=-(v_{5}+v_{9}+v_{16}+v_{20}), \quad etc. \qquad \{ ca_i,cb_i,cc_i \} \ \in F_1(v) \\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_i(v \kappa_1)\) | \(\kappa_i(v \kappa_2)\) | \(\kappa_i(v \kappa_3)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(v_{1},v_{8},v_{17},v_{24}\) | \(v_{4},v_{12},v_{13},v_{21}\) | \(v_{5},v_{9},v_{16},v_{20}\) |
| \(\kappa_2\) | \(v_{4},v_{12},v_{13},v_{21}\) | \(v_{5},v_{9},v_{16},v_{20}\) | \(v_{1},v_{8},v_{17},v_{24}\) |
| \(\kappa_3\) | \(v_{5},v_{9},v_{16},v_{20}\) | \(v_{1},v_{8},v_{17},v_{24}\) | \(v_{4},v_{12},v_{13},v_{21}\) |
【表3-9】より \(v_i\) の3つのグループ \(\{v \kappa_1,v\kappa_2,v\kappa_3\}\) は同型写像 \(\{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) によって写像されても、 お互い混じりあわない事が判ります。 従って、多項式 \(h_0,h_1,h_2\) の係数 \(\{ca_i,cb_i,cc_i\}\) は \(\{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) の写像変換を受けると【表3-10】となります。 同様に \(\{ \kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) による \(\{h_0,h_1,h_2\}\) の写像された結果は【表3-11】となります。
| \( \ \) | \(\kappa_j(ca_i)\) | \(\kappa_j(cb_i)\) | \(\kappa_j(cc_i)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(ca_i\) | \(cb_i\) | \(cc_i\) |
| \(\kappa_2\) | \(cb_i\) | \(cc_i\) | \(ca_i\) |
| \(\kappa_3\) | \(cc_i\) | \(ca_i\) | \(cb_i\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(h_0)\) | \(\kappa_j(h_1)\) | \(\kappa_j(h_2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) | \(h_2\) |
| \(\kappa_2\) | \(h_1\) | \(h_2\) | \(h_0\) |
| \(\kappa_3\) | \(h_2\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
次に(10.4)の Lagrange Resolvent Transformation によって生成される多項式 \(\{t_0,t_1,t_2\}\) の係数は、(10.7)で 示すように係数 \(\{ca_i,cb_i,cc_i\}\) の組み合わせで構成されます。従って、同型写像 \(\{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) による \(\{t_0,t_1,t_2\}\) が受ける写像変換の結果は、【表3-12】となります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=\frac{1}{3}(h_0+h_1+h_2)=x^{4}+\displaystyle\sum_{i=0}^{3} \frac{1}{3} (ca_i+cb_i+cc_i)x^i=x^{4}+\displaystyle\sum_{i=0}^{3} cd_i x^i \\ t_1=\frac{1}{3}(h_0+\omega h_1+\omega^2 h_2)=\displaystyle \sum_{i=0}^{3} \frac{1}{3} (ca_i+\omega cb_i+\omega^2 cc_i)x^i=\displaystyle \sum_{i=0}^{3} ce_i x^i \\ t_2=\frac{1}{3}(h_0+\omega^2 h_1+\omega h_2)=\displaystyle \sum_{i=0}^{3} \frac{1}{3} (ca_i+\omega^2 cb_i+\omega cc_i)x^i=\displaystyle \sum_{i=0}^{3} ck_i x^i \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_j(cd_i)\) | \(\kappa_j(ce_i)\) | \(\kappa_j(ck_i)\) | \(\kappa_j(t_0)\) | \(\kappa_j(ce_i^3)\) | \(\kappa_j(ck_i^3)\) | \(\kappa_j(ce_i \cdot ck_l)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(cd_i\) | \(ce_i\) | \(ck_i\) | \(t_0\) | \(ce_i^3\) | \(ck_i^3\) | \(ce_i \cdot ck_l\) |
| \(\kappa_2\) | \(cd_i\) | \(\omega^2 \cdot ce_i\) | \(\omega \cdot ck_i\) | \(t_0\) | \(ce_i^3\) | \(ck_i^3\) | \(ce_i \cdot ck_l\) |
| \(\kappa_3\) | \(cd_i\) | \(\omega \cdot ce_i\) | \(\omega^2 \cdot ck_i\) | \(t_0\) | \(ce_i^3\) | \(ck_i^3\) | \(ce_i \cdot ck_l\) |
【表3-12】より \(t_0\) は \(\{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) の全ての要素での置換操作に対して不変です。従って \(t_0 \in F_1[x]\) であることが わかります。 また、【表3-12】の黄色で示すように、\(\{ce_i^3,ck_i^3,ce_i \cdot ck_l\}\) も \(\{\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3\}\) の写像変換を受けても不変である事が判ります。 従って \(\{ce_i^3,ck_i^3,ce_i \cdot ck_l \} \ \in \ F_1\) であることもわかります。
\begin{align} t_0 \ \in F_1[x], \qquad \{t_1,t_2\} \ \in F_1(v)[x], \qquad \{ce_i^3,ck_i^3,ce_i \cdot ck_l\} \ \in F_1 \\ \end{align}
【補足】いらないお世話かもしれませんが、【表3-12】の作成方法を第3列の3,4行目を例として示します。
\begin{align} \kappa_2(ce_i)&=\frac{1}{3} \kappa_2(ca_i+\omega cb_i+ \omega^2 cc_i)=\frac{1}{3} \biggl[ \kappa_2(ca_i)+\omega \kappa_2(cb_i)+ \omega^2 \kappa_2(cc_i)\frac{1}{3} \biggr] \notag \\ &=\frac{1}{3} ( cb_i+\omega cc_i +\omega^2 ca_i )= \frac{\omega^2}{3} (ca_i+\omega cb_i +\omega^2 cc_i)=\omega^2 ce_i \notag \\ \kappa_3(ce_i)&=\frac{1}{3} \kappa_3(ca_i+\omega cb_i+ \omega^2 cc_i)=\frac{1}{3} \biggl[\kappa_3(ca_i)+\omega \kappa_3(cb_i)+ \omega^2 \kappa_3(cc_i) \frac{1}{3} \biggr] \notag \\ &=\frac{1}{3} ( cc_i+\omega ca_i +\omega^2 cb_i )= \frac{\omega}{3} (ca_i+\omega cb_i +\omega^2 cc_i)=\omega ce_i \notag \\ \end{align}