数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-12】 \(F_2/F_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) を求める(3)
前節では \(a_2\) を新たな数として \(F_1\) に添加して拡大体 \(F_2\) を生成しましたが、実は \(ck_m\) も \(a_2\) で表現する必要があります。 そこで \(ce_m\) と \(ck_m\) が関連する【表3-12】の際右端の列にある \(ce_i \cdot ck_l \) に注目します。【表3-12】よりすぐに判る様に \( (ce_i \cdot ck_l )\) は同型写像 \(\kappa_j\) の写像変換を受けても不変である事が判ります。
実際に\(ce_m \cdot ck_m\) を計算すると(12.2)に示すように \(F_0\) の数である事も判りました。
\begin{align} &\quad \left\{ \begin{array}{l} \kappa_1(ce_i \cdot ck_l)=\kappa_1(ce_i) \cdot \kappa_1(ck_l)=ce_i \cdot ck_l \qquad [i,j]=[0,1,2,3]\\ \kappa_2(ce_i \cdot ck_l)=\kappa_2(ce_i) \cdot \kappa_2(ck_l)=(\omega^2 ce_i) \cdot (\omega ck_l)= \omega^3 ce_i \cdot ck_l= ce_i \cdot ck_l \\ \kappa_3(ce_i \cdot ck_l)=\kappa_3(ce_i) \cdot \kappa_3(ck_l)=(\omega ce_i) \cdot (\omega^2 ck_l)= \omega^3 ce_i \cdot ck_l= ce_i \cdot ck_l \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\therefore \ ce_i \cdot ck_l \ \in F_1 \quad \Rightarrow \quad ce_m \cdot ck_m=\frac{416}{3} \ \in \ F_0 \\ \end{align}
\begin{align} ck_m&=\frac{ce_m \cdot ck_m}{ce_m} =\frac{ce_m^2 \cdot (ce_m \cdot ck_m)}{ce_m^3}=\frac{ce_m^2 \cdot (ce_m \cdot ck_m)}{A_2} \\ &=ce_m^2 \cdot (ce_m \cdot ck_m) \cdot A_2^{-1}=\frac{416}{3} \cdot ce_m^2 \cdot A_2^{-1} \\ \notag \\ \therefore \ ck_m&=\frac{416}{3} \cdot ce_m^2 \cdot A_2^{-1} \quad \Rightarrow \quad b_2 \equiv \frac{416}{3} \cdot a_2^2 \cdot A_2^{-1} \ \in F_2 \end{align}
但し、\(\{t_1,t_2\}\) は \(F_2\) の多項式となっているので、 \(\{\tilde{t_1},\tilde{t_2}\}\) とチルダを付けて、 従来の \(\{t_1,t_2\}\) とは区別するようにしました。
\begin{align} & A_2^{-1}=-\frac{7 {a_1} \omega }{35995648}-\frac{243 \omega }{281216}+\frac{19 {a_1}}{359956480}-\frac{1431}{1124864} \in F_1 \\ \notag \\ &\quad \therefore \ b_2=a_2^2\biggl(-\frac{7 {a_1} \omega }{259584}-\frac{81 \omega }{676}+\frac{19 {a_1}}{2595840}-\frac{477}{2704}\biggr) \\ \notag \\ &\tilde{t_1}=a_2 \cdot q_1=a_2\biggl( x^2-\frac{5 {a_1} \omega }{2496}+\frac{18 \omega }{13}-\frac{31 {a_1}}{24960}-\frac{207}{26} \biggr) \ \in \ F_2[x]\\ &\tilde{t_2}=b_2 \cdot q_2=b_2\biggl( x^2+\frac{5 {a_1} \omega }{2496}-\frac{18 \omega }{13}+\frac{19 {a_1}}{24960}-\frac{243}{26} \biggr) \ \in \ F_2[x]\\ \end{align}
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1} \\
\tilde{h_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1&1 \\
1&\omega^2&(\omega^2)^2\\
1&\omega&(\omega^2)\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1} \\
\tilde{t_2}
\end{bmatrix}
\quad \Longrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_1(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2} \\
g_2(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_2[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
特に \(\tilde{h_0}\) は因数 \((x-v) \) を含んでいるので、 \(F_2\) 上の \(v\) の最小多項式 \(\tilde{h_0} \equiv g_2(x)\) とする事が出来ます。
前頁の計算結果をまとめますと以下の様になります。
\begin{align} &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1}+\tilde{t_2} \equiv g_2(x) \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\ g_2(x)= x^4+112+a_2\biggl( x^2-\frac{5 {a_1} \omega }{2496}+\frac{18 \omega }{13}-\frac{31 {a_1}}{24960}-\frac{207}{26} \biggr) \notag \\ & \qquad \qquad +a_2^2\biggl(-\frac{7 {a_1} \omega }{259584}-\frac{81 \omega }{676}+\frac{19 {a_1}}{2595840}-\frac{477}{2704}\biggr) \notag \\ & \qquad \qquad \qquad \times \biggl( x^2+\frac{5 {a_1} \omega }{2496}-\frac{18 \omega }{13}+\frac{19 {a_1}}{24960}-\frac{243}{26} \biggr)\\ \notag \\ & B_2(x)= x^3-A_2=0 \quad A_2= \frac{14 {a_1} \omega }{27}+2304 \omega +\frac{89 {a_1}}{135}-1088 \\ &\ a_2=\sqrt[3]{A_2} \qquad F_2 \equiv F_1(a_2) \end{align}
【補足】\(A_2^{-1}\) を求める際の注意点
\(A_2 \ \in F_1\) なので、体 \(F_1\) を生成している条件は、 \([ \ \Omega=0, B_1(a_1)=0 \ ] \) です。
これら2条件式で体 \(F_1\) は生成されているので、 従って \(A_2^{-1}\) を \(F_1\) の基底で展開すると(12.13) となります。 そして \([ \ A_2^{-1} \cdot A_2=1 \ ]\) という条件より、係数 \(c_{i,j}\) の連立方程式を解けば \(A_2^{-1}\) を求める事が出来ます。 計算過程ではいつもの様に \(\{ mod(\Omega) , mod(B_1(a_1)) \}\) の剰余が必要です。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \\ B_1(a_1)=a_1^2+17510400=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} A_2^{-1}=\displaystyle \sum_{i=0}^{1}\displaystyle \sum_{j=0}^1 c_{i,j} \cdot \omega^i \cdot a_1^j \\ A_2^{-1} \cdot A_2=1 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}