数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-14】 \(F_4/F_3\) の計算：最小多項式 \(g_4(x)\) を求める
この節からは \(g_4(x)\) を求める計算をします。下図Fig.3-5の緑の部分です。
今回適応するガロア群は剰余群 \(N/e=N \cong C_2 \) であり2次の巡回群となります。
この節では\(C_2\) の要素は群 \(N\) の要素そのものとなります。
\begin{align} &Gal(F_4/F_3)=N/e \cong C_2 \qquad C_2 =\{\rho_{1},\rho_{8}\} \notag \\ \end{align}
【step1】LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
& h_0=(x-v_1) \\
& h_1=(x-v_8) \notag \\
\notag \\
& \begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1
\end{bmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1
\end{bmatrix}
\qquad ( \ t_1:Lagrange \ resolvent \ )\\
\end{align}
(14.1)で定義された \(x\) の多項式 \(\{h_0,h_1\}\) の性質を写像の観点から見てゆきます。
【表3-18】は \(v_i\) に対する同型写像 \(\{\rho_1,\rho_8\}\) による写像の結果を示しております。
従って、多項式 \(h_0,h_1\) も【表3-19】の様に同様な写像変換を受ける事になります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=x-v_1\\ h_1=x-v_8\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\rho_i(v_1)\) | \(\rho_i(v_8)\) |
|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(v_{1}\) | \(v_{8}\) |
| \(\rho_8\) | \(v_{8}\) | \(v_{1}\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\rho_j(h_0)\) | \(\rho_j(h_1)\) |
|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
| \(\rho_8\) | \(h_1\) | \(h_0\) |
次に(14.2)の Lagrange Resolvent transformation によって \(\{h_0,h_1\}\) から生成される多項式 \(\{t_0,t_1\}\) は(14.3)となります。 そして \(\{t_0,t_1\}\) の定数項 \(\{(v_1+v_8),(v_1-v_8)\}\) の同型写像 \(\{\rho_1,\rho_8\}\) による写像結果が【表3-20】となります。 この結果をうけて、 \(\{t_0,t_1\}\) の写像結果が【表3-21】となります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=\frac{1}{2}(h_0+h_1)=x-(v_1+v_8)\\ t_1=\frac{1}{2}(h_0-h_1)=-(v_1-v_8)\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\rho_j(v_1+v_8)\) | \(\rho_j(v_1-v_8)\) |
|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(v_1+v_8\) | \(v_1-v_8\) |
| \(\rho_8\) | \(v_8+v_1\) | \(-(v_1-v_8)\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\rho_j(t_0)\) | \(\rho_j(t_1)\) | \(\rho_j(t_1 ^2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(t_0\) | \(t_1\) | \(t_1^2\) |
| \(\rho_8\) | \(t_0\) | \(-t_1\) | \(t_1^2\) |
以上は同型写像 \(\{\rho_1,\rho_8\}\) の \(v_i\) に対する写像関係より言えることを表にしてみました。そこで、(14.3)の \(\{v_1,v_8\}\) に \(v\) の多項式表現を代入すると以下の式になります。但し計算は全て、 \([ \ mod \ g_3(v), \ mod \ B_3 , \ mod \ B_2 ,\ mod \ B_1 , \ mod \ \Omega \ ]\) の順で 計算する事に注意してください。
\begin{align} t_0&= x+\frac{a_3}{2} \quad \in F_3[x]\\ t_1&=-v-\frac{a_3}{2} \quad \in F_3(v) \\ \end{align}
計算すると、(14.6)に示すように確かに \(t_1^2 \in F_2\) が成立っています。
\begin{align} & \bbox[#FFFF00]{t_1^2}=-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676} +\frac{2 {a_2} \omega }{13}-\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408} +\frac{3 {a_2}}{26} \equiv \bbox[#FFFF00]{A_4} \ \in \ F_2\\ \notag \\ &B_4(x) \equiv x^2-A_4=0 \quad a_4 \equiv \sqrt{A_4} \quad \Rightarrow \quad \bbox[#FFFF00]{ F_4 \equiv F_3(a_4) } \\ &t_1 \quad \Rightarrow \quad \tilde{t_1}=a_4 \ \in \ F_4\\ \end{align}
この新たに導入された \(a_4\) を使うと、 \(t_1\) は(14.8)の様に拡大された体 \(F_4\) 上の元として表現できるので、 \(t_1\) の代わりに 意識的に \(\tilde{t_1}\) と表現することにしました。
【step2】二項方程式 \(B_4(x)=0\) と新たな添加数 \(a_4\) の生成
\begin{align}
t_1=-v-\frac{a_3}{2} \ \in F_3(v)
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
B_4(x)=x^2-A_4=0 \\
a_4=\sqrt {A_4} \ \in F_3(a_4) \equiv F_4\\
\\
\tilde{t_1}=a_4 \ \in F_4 \\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
いよいよ最後の段階の計算です。(14.4)の \(t_0\) と、(14.8)の \(\tilde{t_1}\) を(14.9)の Inverse Lagrange Resolvent transformationに代入して \(\tilde{h_0 }\) を計算します。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_3(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_4(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_4[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
もともと \(h_0\) は \((x-v_1)\) でしたから、 \(\tilde{h_0}\) は最終的に求める \(F_4\)における \(v\) の最小多項式 \(g_4(x)\) となります。
\begin{align} &\tilde{h_0}=x+\frac{a_3}{2}+a_4 \equiv g_4(x) \\ \notag \\ &B_4(x)=x^2-A_4=0 \quad a_4=\sqrt{A_4} \quad \Rightarrow \quad F_4 \equiv F_3(a_4)\\ \notag \\ &A_4=-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676} +\frac{2 {a_2} \omega }{13}-\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408} +\frac{3 {a_2}}{26} \\ \end{align}