数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-13】 \(F_3/F_2\) の計算：最小多項式 \(g_3(x)\) を求める
この節からは \(g_3(x)\) を求める計算をします。下図Fig.3-4の緑の部分です。
今回適応するガロア群は剰余群 \(V_4/N \cong C_2 \) であり2次の巡回群となります。 \(C_2\) の要素を \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) とすると、2つの要素は剰余類なので、それぞれ2個の自己同型写像から成り立っています。
\begin{align} &V_4 =\{\rho_{1},\rho_{8},\rho_{17},\rho_{24}\}, \quad N=\{\rho_{1},\rho_{8}\} \notag \\ &Gal(F_3/F_2)=V_4/N \cong C_2 = \{\kappa_1,\kappa_2\}, \quad \kappa_1= \{\rho_{1},\rho_{8}\}, \ \kappa_2= \{\rho_{17},\rho_{24}\} \notag \\ \end{align}
【step1】LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
& h_0=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_1}\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_8) \\
& h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_{17})(x-v_{24}) \notag \\
\notag \\
& \begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1
\end{bmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1
\end{bmatrix}
\qquad ( \ t_1:Lagrange \ resolvent \ )\\
\end{align}
(13.3)に示すように \(\{h_0,h_1\}\) の係数を \(\{ \ ca_i,cb_i, \ [i=0,1] \ \}\) とします。
明らかに係数 \(\{ca_i,cb_i\}\) は \(\{v_1,v_8\}\) と \(\{v_{17},v_{24}\}\) の組から構成されています。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=x^2+ca_1x+ca_0 & &ca_1=-(v_1+v_8) & &ca_0=v_1 \cdot v_8\\ h_1=x^2+cb_1x+cb_0 & &cb_1=-(v_{17}+v_{24}) & &cb_0=v_{17} \cdot v_{24}\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_j(v_1,v_8)\) | \(\kappa_j(v_{17},v_{24})\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(v_{1},v_{8}\) | \(v_{17},v_{24}\) |
| \(\kappa_2\) | \(v_{17},v_{24}\) | \(v_{1},v_{8}\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(ca_i)\) | \(\kappa_j(cb_i)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(ca_i\) | \(cb_i\) |
| \(\kappa_2\) | \(cb_i\) | \(ca_i\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(h_0)\) | \(\kappa_j(h_1)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
| \(\kappa_2\) | \(h_1\) | \(h_0\) |
次に(13.2)の Lagrange Resolvent transformation によって生成される多項式 \(\{t_0,t_1\}\) の係数 \(\{cc_i,cd_i\}\) は (13.4)で示すように係数 \(\{ca_i,cb_i\}\) の組み合わせで構成されます。従って、同型写像 \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) による \(\{t_0,t_1\}\) が受ける写像変換の結果は、【表3-17】となります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=\frac{1}{2}(h_0+h_1)=x^2+\frac{1}{2}(ca_1+cb_1)x+\frac{1}{2}(ca_0+cb_0)=x^2+cc_1x+cc_0\\ t_1=\frac{1}{2}(h_0-h_1)=\frac{1}{2}(ca_1-cb_1)x+\frac{1}{2}(ca_0-cb_0)=cd_1x+cd_0\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_j(cc_i=\frac{1}{2}(ca_i+cb_i))\) | \(\kappa_j(cd_i=\frac{1}{2}(ca_i-cb_i))\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(cc_i=\frac{1}{2}(ca_i+cb_i)\) | \(cd_i=\frac{1}{2}(ca_i-cb_i)\) |
| \(\kappa_2\) | \(cc_i=\frac{1}{2}(cb_i+ca_i)\) | \(-cd_i=\frac{1}{2}(cb_i-ca_i)\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(t_0)\) | \(\kappa_j(t_1)\) | \(\kappa_j(cd_i ^2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(t_0\) | \(t_1\) | \(cd_i^2\) |
| \(\kappa_2\) | \(t_0\) | \(-t_1\) | \(cd_i^2\) |
【表3-17】より \(t_0\) と \(cd_i^2\) は \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) による写像に対して不変です。従って下記の事が成立ちます。
\begin{align} t_0 \ \in F_2[x], \quad t_1 \ \in F_2(v)[x], \quad cd_i^2 \ \in F_2 \\ \end{align}
\begin{align} & t_0= x^2+\frac{19 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{865280}+\frac{45 {{a}_{2}^{2}} \omega }{1352}-\frac{4 {a_2} \omega }{13}+\frac{9 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{1730560}+\frac{603 {{a}_{2}^{2}}}{5408}-\frac{19 {a_2}}{26} \quad \in F_2[x] \\ & t_1=\Biggl[-\frac{5 {a_1} {{a}_{2}^{2}} {{v}^{3}} \omega }{183028352}+\frac{1215 {{a}_{2}^{2}} {{v}^{3}} \omega }{5719636} +.....+\frac{49 {a_1} v}{338440}-\frac{21371 v}{8461}\Biggr]x \quad \in F_2(v)[x] \\ \end{align}
\(t_1 \) は \(x\) の1次の多項式ですが、 \([...]\) で囲まれた部分が、(13.4)の \(cd_1\) に相当します。 【表3-17】の黄色で示したように \(cd_1^2\) は \(F_2\) の数のはずです。 実際に計算してみても \(F_2\) の数になります。この値を \(A_3\) とします。
\begin{align} \bbox[#FFFF00]{ cd_1^2}&=\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}+\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \equiv \bbox[#FFFF00]{ A_3 } \ \in \ F_2\\ \end{align}
(13.8)の両端を見ると、 \(cd_1\) が (13.9)で示す \( [ \ B_3(x)=x^2-A_3=0 ] \) という２項方程式の根であるとも言えます。 そこで、\(cd_1\) を \([ \ B_3(x)=0 \ ]\) の冪根として、新たに \(a_3\) という文字で定義し直します。そして、 \(a_3\) を体 \(F_2\) に添加することにより、 新たな拡大体 \(F_3\) を生成する事にします。 \(a_3\) を使うと、 \(t_1\) は拡大された体 \(F_3\) 上の多項式として表現できるので、 \(t_1\) の代わりに 意識的に \(\tilde{t_1}\) と表現することにしました。
【step2】二項方程式 \(B_3(x)=0\) と新たな添加数 \(a_3\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
cd_1 \ \in F_2(v) \\
\\
t_1=cd_1 \cdot x \ \in F_2(v)[x]\\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
B_3(x)=x^2-A_3=0 \\
a_3 \equiv \sqrt {A_3} \ \in F_2(a_3) \equiv F_3\\
\tilde{t_1}=a_3 \cdot x \ \in F_3[x] \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}
(13.6)の \(t_0\) と(13.9)の \(\tilde{t_1}\) を(13.10)のInverse Lagrange Resolvent transformationに代入すると、 \(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\) を求める事が出来ます。\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\)とチルダがついているのも、\(\{h_0,h_1\}\) と区別するためです。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_2(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_3(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_3[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
又、\(\tilde{h_0}\) は \((x-v)\) の因数を含んでいます。 従って、\(\tilde{h_0}\) を、 \(F_3\) 上の \(v\) の最小多項式 \(g_3(x)\) と考えてもよいでしょう。 計算結果をまとめると以下の様になります。
\begin{align} &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_3(x) \quad \in F_3[x] \\ \notag \\ &g_3(x)=x^2+{a_3} x \notag \\ &\qquad +\biggl[ \frac{19 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{865280}+\frac{45 {{a}_{2}^{2}} \omega }{1352}-\frac{4 {a_2} \omega }{13} +\frac{9 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{1730560}+\frac{603 {{a}_{2}^{2}}}{5408}-\frac{19 {a_2}}{26} \biggr] \\ \end{align}