数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
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【3-4】 最小多項式 \(g_0(x)\) と4根 \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) と \(v_i\) の多項式
\(V(x)\) は \(F_0\) 上で既約なので \(V(x)\) そのものを \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\)とする事が出来ます。また、\(V(x)\) は、\(v=v_1\) を根に持っているので当然 \(g_0(v)=0\) です。
\begin{align} g_0(x)&:minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0 \notag \\ \notag \\ V(x) \equiv g_0(x)&= x^{24}-160x^{20}+5440x^{18}+.....+4691625312256 \\ \notag \\ g_0(v)&=v^{24}-160v^{20}+5440v^{18}+.....+4691625312256=0 \\ \end{align}
\(v\) による \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) の多項式表現
\(f(x)\)の4根 \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) を求めるためには、先ず \(V^{'}(x)\) の逆数 \(V^{'}(x)^{-1}\) を求める必要があります。第1、2章と同じ方法で求めると、係数が非常に複雑ですが(4.4)となります。 計算する際には、 \(g_0(v)\) の剰余計算が必須となることに注意してください。
\begin{align} V^{'}(v)&=24v^{23}-3200v^{19}+97920v^{17}+481280v^{15}+10357760v^{13}\notag \\ &+304809984v^{11}-295936000v^9+12163317760v^7+213195325440v^5\notag \\ &+1644537184256v^3+1400183193600v \\ \end{align}
\begin{align} V^{'}(v)^{-1}&=\frac{36650658007597998057527901863523813134582549442939859625}{1298927928510468889470594879182809105052836606048849589825447492902816344937857024}v^{23} \notag \\ \notag \\ &-\frac{1320201362648416679393021145878628722365418769923}{13608270331256762059701528955837861614568450918781199465890427037556932608}v^{21} \notag \\ \notag \\ &+.......... \notag \\ \notag \\ &+\frac{(226184448292414813563319989189735356244047283289116150200621045}{29730100902796986911100651836764734765308455033466711192904224233310310629376}v^3 \notag \\ \notag \\ &-\frac{1359699243330685835420943609764282003859074131280909865754805267}{39640134537062649214800869115686313020411273377955614923872298977747080839168}v \\ \end{align}
この逆数 \(V^{'}(x)^{-1}\) と、前節で求めた \(P_{\alpha}(v)\) を(4.5)に代入すると、 \(\alpha\) の \(v\) の多項式表現を求める事が出来ます。
\begin{align} \alpha&=\left.\frac{P_\alpha(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\alpha}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} & \beta&=\left.\frac{P_\beta(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\beta}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} \\ \gamma&=\left.\frac{P_\gamma(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\gamma}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} & \delta&=\left.\frac{P_\delta(x)}{V'(x)}\right|_{x=v}=P_{\delta}(v) \cdot V^{'}(v)^{-1} \notag \\ \end{align}
他の根も同様に計算すると、 \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) は以下のように係数が非常に複雑な多項式となります。
\begin{align} \alpha&= \frac{801167701943012874015343807}{10126546386824616812436636833146824818688}v^{23}+\frac{51207699710669004924125}{199474971178044691573821786887815168}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &-\frac{1279063375083309131586881879157101}{11886064249859873624873982160300416}v-\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088} \\ \notag \\ \beta&=-\frac{801167701943012874015343807}{3375515462274872270812212277715608272896}v^{23}-\frac{51207699710669004924125}{199474971178044691573821786887815168}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &-\frac{2682958041536648743371112174276371}{3962021416619957874957994053433472}v+\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088} \\ \notag \\ \gamma&=\frac{801167701943012874015343807}{3375515462274872270812212277715608272896}v^{23}-\frac{51207699710669004924125}{199474971178044691573821786887815168}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &+\frac{2682958041536648743371112174276371}{3962021416619957874957994053433472}v+\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088} \\ \notag \\ \delta&=-\frac{801167701943012874015343807}{10126546386824616812436636833146824818688}v^{23}+\frac{51207699710669004924125}{199474971178044691573821786887815168}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &+\frac{1279063375083309131586881879157101}{11886064249859873624873982160300416}v-\frac{2718803338720300088760700554765}{3043746508454051079922817793088} \\ \end{align}
\(v\) による \(\{v_i, \ [i=1,2,...,23,24] \}\) の多項式表現
上式の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) の \(v\)の多項式表現を(2.3)の \(v_i\) に代入すると、 \(v_i\) も \(v\) の多項式表現となります。\begin{align} v_1&=v \\ \notag \\ v_2&=\frac{801167701943012874015343807}{2531636596706154203109159208286706204672}v^{23}-\frac{51207699710669004924125}{99737485589022345786910893443907584}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &+\frac{4663968749846627680850109200993107}{2971516062464968406218495540075104}v+\frac{2718803338720300088760700554765}{1521873254227025539961408896544} \\ \notag \\ &\qquad \qquad .........\notag \\ \notag \\ v_{23}&=-\frac{801167701943012874015343807}{2531636596706154203109159208286706204672}v^{23}-\frac{51207699710669004924125}{99737485589022345786910893443907584}v^{22} \notag \\ &\quad .......... \notag \\ &-\frac{4663968749846627680850109200993107}{2971516062464968406218495540075104}v+\frac{2718803338720300088760700554765}{1521873254227025539961408896544} \\ \notag \\ v_{24}&=-v \\ \end{align}
上式で計算された \(\{v_1,v_2,...,v_{24}\}\) を \(g_0(x)\) に代入して計算すると、全てゼロとなり根である事が判ります。 従って \(v_i\) は互いに \(g_0(x)\) の共役根である事も確認できました。
\begin{align} &g_0(v_1)=g_0(v_2)=....=g_0(v_{23})=g_0(v_{24})=0\quad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \end{align}
以上より全ての \(v_i\ [i=1,2,..,24]\) は \(g_0(x)\) の共役根である事も判りました。
ここでもう一度、第2節のガロア拡大の条件[1][2]に関して考察しましょう。
条件[2]： \(\{v_1,v_2,...,v_6\} \) は \(v\) の多項式で表現されている。従って、\(F_0(v)\) は、最小多項式 \(g_0(x)\) の全ての根を含んでいる。 従って \(F_0(v)/F_0\) は正規拡大である。
以上より \(F_0(v)\) は条件[1][2]を満足しているので、 \(F_0(v)/F_0\) はガロア拡大である。
そこで \( Gal(F_0(v)/F_0) \) を \(F_0(v)/F_0\) のガロア群とすると次のことが言えます。
\begin{align} \# \ Gal(F_0(v)/F_0) =[ \ F_0(v):F_0 \ ] =24=deg \ \bigl( \ g_0(x) \ \bigr) \notag \\ \end{align}