数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
Profile
Name: scruta \(\quad\)
Daily life: mowing
Revision history
1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
Contact
Copyright © 2023 scruta
【3-11】 \(F_2/F_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) を求める(2)
\(\{t_1,t_2\}\) をもう少し詳しく見てみます。\(x\) の多項式 \(\{t_1,t_2\}\) の係数のなかでゼロでない最も高い次数をそれぞれ\(\{m,n\}\) とします。 そして \(\{x^m,x^n\}\) の係数を \( \{ce_m,ck_n\}\) とします。 この係数 \( \{ce_m,ck_n\}\) で \(\{t_1,t_2\}\) をくくりだすと(11.2-3)となります。
この時、「モニックな多項式 \(\{q_1(x),q_2(x)\}\) が属する体は何処か？」を考えてみます。
\begin{align} & deg(t_1)=m, \quad deg(t_2)=n \\ & t_1=ce_m \times \biggl( x^m+\displaystyle \sum_{i=0}^{m-1} \frac{ce_i}{ce_m}x^i\biggr) =ce_m \times q_1(x) \quad (ce_m\neq 0) \\ & t_2=ck_n \times \biggl( x^n+\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} \frac{ck_j}{ck_n}x^j\biggr) =ck_n \times q_2(x) \quad (ck_n\neq 0) \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\kappa_1 \biggl( \frac{ce_i}{ce_m}\biggr)= \frac{ce_i}{ce_m}, & &\kappa_2 \biggl( \frac{ce_i}{ce_m}\biggr)= \frac{\omega^2 ce_i}{\omega^2 ce_m}=\frac{ce_i}{ce_m}, & &\kappa_3 \biggl( \frac{ce_i}{ce_m}\biggr)= \frac{\omega ce_i}{\omega ce_m}=\frac{ce_i}{ce_m} \\ &\kappa_1 \biggl( \frac{ck_j}{ce_n}\biggr)= \frac{ce_j}{ce_n}, & &\kappa_2 \biggl( \frac{ck_j}{ce_n}\biggr)= \frac{\omega ce_j}{\omega ce_m}=\frac{ce_j}{ce_m}, & &\kappa_3 \biggl( \frac{ck_j}{ce_n}\biggr)= \frac{\omega^2 ce_j}{\omega^2 ce_m}=\frac{ce_j}{ce_m} \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\therefore \ \biggl( \frac{ce_i}{ce_m}\biggr),\biggl( \frac{ck_j}{ck_n}\biggr) \ \in F_1 \quad \Rightarrow \quad q_1(x), \ \ q_2(x) \in F_1[x] \\ \end{align}
以上の考察は、同型写像 \(\rho_i\) による \(v_i\) の写像変換の特性だけで言える事です。 まさに剰余群と拡大体の同型写像とが絡み合って理論が進んでゆく一端を見たような気がします。
それでは実際の計算をしてよ来ます。
(10.3)の \(\{h_0,h_1,h_2\}\) の中の \(v_i\) に、(4.10-13)の \(v\) の多項式表現を代入して計算します。
そして、(10.4)のLagrange Resolvent transformationを使って \(\{t_0,t_1.t_2\}\) を計算します。
この間の計算は全て、 \([ \ mod \ g_1(v), \ mod \ B_1(a_1), \ mod \ \Omega \ ]\) の順で計算する事に注意！
\begin{align} & t_0=x^4+112 \\ & t_1=\Biggl[\frac{176356098785 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{26343508540135700992}+...+\frac{27924690836995920}{2708008690392239} \Biggr]x^2 +.... \\ & t_2=\Biggl[ -\frac{176356098785 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{26343508540135700992}+...-\frac{193463308578480}{2708008690392239} \Biggr]x^2 +.... \\ \end{align}
更に、(11.7-8)の \(\{t_1,t_2 \}\) の \(x^2\) の係数は \([...]\) で囲われた部分ですが、これはそれぞれ(11.2-3)の \(\{ce_m,cd_m\}\) に対応しております。但し、今の場合 \([ \ m=n=2 \ ]\) です。
【step2】二項方程式 \(B_2(x)=0\) と新たな添加数 \(a_2\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_1=ce_m \cdot q_1(x) \ \in F_1(v)[x]\\
t_2=ck_m \cdot q_2(x) \ \in F_1(v)[x]\\
\\
ce_m, \ ck_m \ \in F_1(v) \\
q_1(x), \ q_2(x) \ \in F_1[x]\\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_2 \cdot q_1(x) \ \in F_2[x] \\
\tilde{t_2}=b_2 \cdot q_2(x) \ \in F_2[x] \\
\\
B_2(x)=x^3-A_2=0 \\
a_2=\sqrt[3] {A_2} \ \in F_1(a_2) \equiv F_2\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
まず後で必要となる \(\{ce_m,ck_m\}\) の逆数 \(\{ce_m^{-1},ck_m^{-1}\}\) も計算しておきます。
また前節と同様に、この \(\{ce_m^{-1},ck_m^{-1}\}\) を \(\{t_1,t_2\}\) に掛けて、 最高係数が1となるモニックな多項式 \(\{q_1,q_2\}\) となる事も確認しておきます。
\begin{align} ce_m=&\Biggl[\frac{176356098785 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{26343508540135700992} +\frac{103314391395 {{v}^{10}} \omega }{5416017380784478}+.....+\frac{27924690836995920}{2708008690392239} \Biggr] \\ ck_m=&\Biggl[ -\frac{176356098785 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{26343508540135700992} -\frac{103314391395 {{v}^{10}} \omega }{5416017380784478}+.....-\frac{193463308578480}{2708008690392239} \Biggr] \notag \\ ce_m^{-1}=&\Biggl[-\frac{529068296355 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{10958899552696451612672} -\frac{309943174185 {{v}^{10}} \omega }{2253063230406342848}+.....-\frac{36274370358465}{70408225950198214} \Biggr] \\ ck_m^{-1}=&\Biggl[\frac{529068296355 {a_1} {{v}^{10}} \omega }{10958899552696451612672} +\frac{309943174185 {{v}^{10}} \omega }{2253063230406342848}+.....+\frac{5235879531936735}{70408225950198214} \Biggr] \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} q_1= \ ce_m^{-1} \cdot t_1= x^2-\frac{5 {a_1} \omega }{2496}+\frac{18 \omega }{13}-\frac{31 {a_1}}{24960}-\frac{207}{26} \ \in \ F_1[x] \\ q_2= \ ck_m^{-1} \cdot t_2= x^2+\frac{5 {a_1} \omega }{2496}-\frac{18 \omega }{13}+\frac{19 {a_1}}{24960}-\frac{243}{26} \ \in \ F_1[x] \\ \end{align}
次に \(ce_m^3\) を計算してみます。結果は(11.13)に示す様に \(F_1\) の数になりました。この値を \(A_2\) とします。
(11.13)の両端をよく見ると、\(ce_m\) は(11.14)に示す \(B_2(x)=0\) という二項方程式の冪根であると言えます。
そこで \(ce_m\) を\(B_2(x)=0\) の3乗根として、新たに \(a_2\) という文字で定義します。そして、 \(a_2\) を体 \(F_1\) に添加することにより、 新たな拡大体 \(F_2\) を生成する事にします。さらに \(a_2\) を使って、(11.15)の様に \(t_1\) を \(F_2\) 上の多項式 \(\tilde{t_1}\) として 再定義します。
Step2 二項方程式 \(B_1(x)\) と新たな添加数 \(a_2\) の生成
\begin{align}
&ce_m^3= \frac{14 {a_1} \omega }{27}+2304 \omega +\frac{89 {a_1}}{135}-1088 \equiv A_2 \ \in \ F_1\\
&B_2(x)=x^3-A_2=0, \qquad a_2=\sqrt[3]{A_2} \ \in \ F_1(a_2) \equiv \ F_2 \\
\notag \\
&\qquad \Downarrow \notag \\
&t_1 \ \rightarrow \ \tilde{t_1} \equiv a_2 \cdot \biggl( x^2-\frac{5 {a_1} \omega }{2496}+\frac{18 \omega }{13}-\frac{31 {a_1}}{24960}-\frac{207}{26} \biggr) \in F_2[x]\\
\end{align}
以上の計算は \([ \ mod \ g_1(v), \ mod \ B_1(a_1), \ mod \ \Omega \ ]\) の順で計算する事に注意してください！
【補足】\(a_2^{-1} \ (=ce_m^{-1} )\) を求める際の注意点
\(a_2(=ce_m) \ \in F_1(v)\) です。体 \(F_1(v)\) を生成している条件は、 \([ \ g_1(v)=0, \Omega=0, B_1(a_1)=0 \ ] \) です。
従って \(a_2^{-1}\) を \(F_1(v)\) の基底で展開すると(11.16) となります。 そして \([ \ a_2^{-1} \cdot a_2=1 \ ]\) という条件より、係数 \(c_{i,j,k}\) の連立方程式を解けば \(a_2^{-1} \ (=ce_m^{-1} )\) を求める事が出来ます。
計算過程ではいつもの様に \(\{mod(g_1(v)), mod(\Omega) , mod(B_1(a_1)) \}\) の剰余が必要です。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} g_1(v)= v^{12}-80v^8+2720v^6+11840v^4+587520v^2+1193216 \\ \qquad \qquad +a_1({{v}^{6}}-\frac{232 {{v}^{2}}}{5}+432 )=0 \\ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \\ B_1(a_1)=a_1^2+17510400=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_2^{-1}=\displaystyle \sum_{i=0}^{11}\displaystyle \sum_{j=0}^1\displaystyle \sum_{k=0}^1 c_{i,j,k} \cdot v^i \cdot \omega^j \cdot a_1^k \\ a_2^{-1} \cdot a_2=1 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}