ガロア理論による可解方程式の解法技術

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【3-7】方程式 \(f(x)\) のガロア群とその組成列

前節の議論より \(F_0\) 上の自己同型写像全体 \(\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{24}\}\) は、対称群 \(S_4\) である事がわかりました。

対称群 \(S_4\) は(7.1)に示すような組成列を持ちます。ガロア理論では、(7.1-2)に示すように、組成列の5つの群 \(\{S_4,A_4,V_4,N,e\}\) に対応する5つの体 \(\{F_0,F_1,F_2,F_3,F_4\}\) が存在します。

この時、体の拡大 \(\{F_1/F_0, / F_2/F_1, / F_3/F_2, / F_4/F_3\}\) はそれぞれガロア拡大となります。それぞれの拡大次数は(7.3-6)に示すように素数の2、3、2、2です。

素数次の拡大は巡回拡大（冪根拡大）となります。この巡回拡大を続けてゆくにつれて、\(v\) の最小多項式の次数は、24次から1次まで減少します。最終的には、1次の最小多項式の解が原始根 \(v\)の値となり、この値を使って \(f(x)\) の根を求める事が出来ます。この計算過程が、ガロア理論を使った方程式の解法となるわけです。

\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0) =\{\rho_{1}, \rho_{2},..., \rho_{24}\} =S_4 : \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ S_4 \notag \\ \end{align} \begin{align} &S_4 &\rhd & &A_4 & &\rhd & &V_4 & &\rhd &\qquad &N &\qquad &\rhd &\qquad &e \\ &\updownarrow & & &\updownarrow & & & &\updownarrow & & & &\updownarrow & & & &\updownarrow \notag \\ &F_0 &\rightarrow & &F_1 & &\rightarrow & &F_2 & &\rightarrow &\qquad &F_3 &\qquad &\rightarrow &\qquad &F_4 \ ( \ \cong F_0(v)) \\ \end{align} \begin{align} & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ & Galois \ extension & & & &Galois \ Group \notag \\ \notag \\ &[1] \quad [ \ F_1:F_0 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_1/F_0) = S_4/A_4 \cong C_2 \\ \notag \\ &[2] \quad [ \ F_2:F_1 \ ]=3 & &\rightarrow & &Gal(F_2/F_1) = A_4/V_4 \cong C_3 \\ \notag \\ &[3] \quad [ \ F_3:F_2 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_3/F_2) = V_4/N \cong C_2 \\ \notag \\ &[4] \quad [ \ F_4:F_3 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_4/F_3) = N/e \cong C_2\\ \end{align}

（補足）上記組成列に対応するガロア群の自己同型写像の要素は以下の通りです。

\begin{align} S_4&=\{\rho_{1},\rho_{2},\rho_{3},\rho_{4},\rho_{5},\rho_{6},\rho_{7},\rho_{8},\rho_{9},\rho_{10}, \rho_{11},\rho_{12}, \notag \\ &\qquad \rho_{13},\rho_{14},\rho_{15},\rho_{16},\rho_{17},\rho_{18},\rho_{19}, \rho_{20},\rho_{21},\rho_{22},\rho_{23},\rho_{24}\} \notag \\ A_4&=\{\rho_{1},\rho_{4},\rho_{5},\rho_{8},\rho_{9},\rho_{12},\rho_{13},\rho_{16},\rho_{17},\rho_{20},\rho_{21},\rho_{24}\} \notag \\ V_4&=\{\rho_{1},\rho_{8},\rho_{17},\rho_{24}\} \ \ :Klein \ group \notag \\ N&=\{\rho_{1},\rho_{8}\} \notag \\ e&=\{\rho_{1}\} \notag \\ \end{align}

【4次方程式解法の全体像】

方程式 \(f(x)=0\) を解くと言う事は、実際には \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)=0\) を解くと言う事と同じです。
その為には、次数24次の \(g_0(x)\) から次数1次の \(g_4(x)\) に次数を低減する必要があります。何故なら1次方程式は簡単に解けるからです。そして、 \([ \ g_4(x)=0 \ ]\) という方程式の解が \(v\) の値となるので、その値を \(f(x)\) の4根の多項式表現に代入すれば根の値が求まるという訳です。

下の【Fig.3-1】は、最小多項式の次数を24次から1次まで低減して行く全体像です。最小多項式の次数を低減させる計算は、下図の第3段から第6段の4つの緑色の部分です。計算手順は第2章と全く同じです。

（注）4段目の緑の部分に関して一言付け加えます。この3次の巡回拡大の計算の際に現れる二項方程式を解く際には、必ず1の3乗根 \(\omega\) が必要となります。その為に、基礎体を \(F_0=Q(\omega)\) としてあります。
因みに \(\omega\) の計算は、2段目の水色の部分ですが、第1章でガロアの理論を使って解いてあります。

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