数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
Profile
Name: scruta \(\quad\)
Daily life: mowing
Revision history
1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
Contact
Copyright © 2023 scruta
【3-8】 \(F_1/F_0\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) を求める(1)
前節で全体の流れは説明したので、いよいよ\(g_1(x)\)の計算をします。 計算は、下図Fig.3-2の緑の部分です。
\(v\) の最小多項式 \(g_1(x)\) を求める計算は3段階に分かれております。先ず第一段階の計算を進めます。
【step1】LRT(Lagrange Resolvent Transformmation)
\begin{align}
& h_0=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_1}\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_4)...(x-v_{21})(x-v_{24}) \\
& h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)...(x-v_{22})(x-v_{23}) \notag \\
\notag \\
& \begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1
\end{bmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1
\end{bmatrix} \\
\end{align}
今回適応するガロア群は剰余群 \(S_4/A_4 \cong C_2 \) であり、2次の巡回群 \(C_2\)となります。 \(C_2\) の要素を \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) とすると、2つの要素は剰余類なので、それぞれ12個の要素から成り立っています。
ついでに \(v_i\) も \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) に対応する2つのグループ \(\{v \kappa_1,v\kappa_2\}\) に分類しておきます。
\begin{align} &S_4/A_4 \cong C_2 \equiv \{\kappa_1,\kappa_2\} \quad \kappa_2^2=\kappa_1 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \kappa_1\equiv \{\rho_{1},\rho_{4},\rho_{5},\rho_{8},\rho_{9},\rho_{12},\rho_{13},\rho_{16},\rho_{17},\rho_{20},\rho_{21},\rho_{24}\} \\ \kappa_2\equiv \{\rho_{2},\rho_{3},\rho_{6},\rho_{7},\rho_{10},\rho_{11},\rho_{14},\rho_{15},\rho_{18},\rho_{19},\rho_{22},\rho_{23}\} \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} v \kappa_1\equiv \{v_{1},v_{4},v_{5},v_{8},v_{9},v_{12},v_{13},v_{16},v_{17},v_{20},v_{21},v_{24}\} \\ v \kappa_2\equiv \{v_{2},v_{3},v_{6},v_{7},v_{10},v_{11},v_{14},v_{15},v_{18},v_{19},v_{22},v_{23}\} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(8.6)に示すように \(\{h_0,h_1\}\) の係数を \(\{ \ ca_i,cb_i, \ [i=0,1,..,11] \ \}\) とします。
係数 \(\{ca_i,cb_i\}\) は(8.7)の様にそれぞれ \(\{v \kappa_1,v\kappa_2\}\) に属する \(v_i\) で構成されています。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=x^{12}+ca_{11}x^{11}+...+ca_1x+ca_0 \\ h_1=x^{12}+cb_{11}x^{11}+...+cb_1x+cb_0 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\quad ca_{11}=-(v_1+v_4+...+v_{24}), \quad cb_{11}=-(v_2+v_3+....+v_{23}), \quad etc. \\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_j(v \kappa_1)\) | \(\kappa_j(v \kappa_2)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(v_{1},v_{4},v_{5},v_{8},v_{9},v_{12}\) \(v_{13},v_{16},v_{17},v_{20},v_{21},v_{24}\) | \(v_{2},v_{3},v_{6},v_{7},v_{10},v_{11}\) \(v_{14},v_{15},v_{18},v_{19},v_{22},v_{23}\) |
| \(\kappa_2\) | \(v_{2},v_{3},v_{6},v_{7},v_{10},v_{11}\) \(v_{14},v_{15},v_{18},v_{19},v_{22},v_{23}\) | \(v_{1},v_{4},v_{5},v_{8},v_{9},v_{12}\) \(v_{13},v_{16},v_{17},v_{20},v_{21},v_{24}\) |
【表3-3】より \(v_i\) の2つのグループ \(\{v \kappa_1,v\kappa_2\}\) は同型写像 \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) によって写像されても、お互い混じりあわない事が判ります。 従って、多項式 \(h_0,h_1\) の係数 \(\{ca_i,cb_i\}\) は \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) の写像変換を受けると【表3-4】となります。 同様に \(\{ \kappa_1,\kappa_2\}\) による \(\{h_0,h_1\}\) の写像された結果は【表3-5】となります。
| \( \ \) | \(\kappa_j(ca_i)\) | \(\kappa_j(cb_i)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(ca_i\) | \(cb_i\) |
| \(\kappa_2\) | \(cb_i\) | \(ca_i\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(h_0)\) | \(\kappa_j(h_1)\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(h_0\) | \(h_1\) |
| \(\kappa_2\) | \(h_1\) | \(h_0\) |
次に(8.2)の Lagrange Resolvent Transformation によって生成される多項式 \(\{t_0,t_1\}\) の係数は、(8.8)で 示すように係数 \(\{ca_i,cb_i\}\) の組み合わせで構成されます。従って、同型写像 \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) による \(\{t_0,t_1\}\) が受ける写像変換の結果は、【表3-7】となります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=\frac{1}{2}(h_0+h_1)=x^{12}+\displaystyle\sum_{i=0}^{11} \frac{1}{2}(ca_i+cb_i)x^i=x^{12}+\displaystyle\sum_{i=0}^{11} cc_i x^i\\ t_1=\frac{1}{2}(h_0-h_1)=\displaystyle \sum_{i=0}^{11}\frac{1}{2} (ca_i-cb_i)x^i= \displaystyle \sum_{i=0}^{11} cd_i x^i\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\kappa_j(cc_i=\frac{1}{2}(ca_i+cb_i))\) | \(\kappa_j(cd_i=\frac{1}{2}(ca_i-cb_i))\) |
|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(cc_i=\frac{1}{2}(ca_i+cb_i)\) | \(cd_i=\frac{1}{2}(ca_i-cb_i)\) |
| \(\kappa_2\) | \(cc_i=\frac{1}{2}(cb_i+ca_i)\) | \(-cd_i=\frac{1}{2}(cb_i-ca_i)\) |
\(\quad \Rightarrow \quad \)
| \( \ \) | \(\kappa_j(t_0)\) | \(\kappa_j(t_1)\) | \(\kappa_j(cd_i ^2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\kappa_1\) | \(t_0\) | \(t_1\) | \(cd_i^2\) |
| \(\kappa_2\) | \(t_0\) | \(-t_1\) | \(cd_i^2\) |
【表3-7】より \(t_0\) は \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) の全ての要素での置換操作に対して不変です。従って \(t_0 \in F_0[x]\) であることが わかります。 また、【表3-7】の黄色で示すように、\(cd_i^2\) も \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) の写像変換を受けても不変である事が判ります。 従って \(cd_i^2 \ \in \ F_0\) であることがわかります。以上判ったことをまとめます。
\begin{align} t_0 \ \in F_0[x], \quad t_1 \ \in F_0(v)[x], \quad cd_i^2 \ \in F_0 \\ \end{align}
\(x\) の多項式 \(t_1\) の係数は、\(v_i\) から構成されているので \(F_0(v)\) の元です。そこで \(t_1\) のなかでゼロでない \(x\) の 最高次数を \(m\) とします。そして \(x^m\) の係数を \( (ca_m-cb_m)=cd_m \neq 0 \ \) とします。 この係数 \( cd_m \) で \(t_1\) をくくりだすと(8.10)となります。
この時、「モニックな多項式 \(q_1(x)\) が属する体は何処か？」を考えてみます。
\begin{align} &t_1=cd_m \times \bbox[#FFFF00]{ \biggl( x^m+\displaystyle \sum_{i=0}^{m-1} \frac{cd_i}{cd_m}x^i\biggr) }=cd_m \times \bbox[#FFFF00]{ q_1(x) }\\ \notag \\ &\kappa_1 \biggl( \frac{cd_i}{cd_m}\biggr)= \frac{cd_i}{cd_m} \quad [i=0,1,...,m-1] \notag \\ &\kappa_2 \biggl( \frac{cd_i}{cd_m}\biggr)= \frac{-cd_i}{-cd_m}=\frac{cd_i}{cd_m} \quad [i=0,1,...,m-1] \notag \\ \notag \\ &\therefore \ \biggl( \frac{cd_i}{cd_m}\biggr) \ \in F_0 \quad \Rightarrow \quad \bbox[#FFFF00]{ q_1(x) \in F_0[x] } \\ \end{align}
以上の考察は、同型写像 \(\rho_i\) による \(v_i\) の写像変換の特性だけで推論できる事です。
まさに剰余群と拡大体の同型写像とが絡み合って理論が進んでゆく一端を見たような気がします。