数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-9】 \(F_1/F_0\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) を求める(2)
前節では(8.9,11)が示すように \(\{t_0,t_1^2,q_1(x)\}\) が属する体を。同型写像関係から考察しましたが、この節では 実際の計算でその結果を確認します。まず、(8.1)の \(\{h_0,h_1\}\) の \(v_i\) に、(4.10-13)の \(v_i\) の \(v\) による多項式表現を代入します。
（注：以下の計算は全て、 \([ \ mod \ g_0(v) \ ]\) で計算する事に注意してください。）
更に計算された \(\{h_0,h_1\}\) を、(8.2)のLagrange Resolvent Transformationに代入して \(\{t_0,t_1\}\) を求めると以下の式となります。
\begin{align} & t_0=x^{12}-80x^8+2720x^6+11840x^4+587520x^2+1193216 \\ \notag \\ & t_1=\Biggl[ -\frac{1842286585 {{v}^{22}}}{575477552142843904}+...-\frac{24232754108316500}{17562181156703}\Biggr]x^6 \ +.... \\ \end{align}
この \(cd_m\) に関して、もう少し考えてみます。 先ず \(cd_m\) の逆数 \(cd_m^{-1}\) を計算して \(t_1\) にかけてみます。その結果、前節の(8.11)の通りモニックな多項式 \(q_1(x)\) は \(F_0[x]\) と なる事が判りました。
\begin{align} &cd_m=\Biggl[ -\frac{1842286585 {{v}^{22}}}{575477552142843904}+...-\frac{24232754108316500}{17562181156703}\Biggr] \ \in \ F_0(v) \\ &cd_m^{-1}=\Biggl[ \frac{368457317 {{v}^{22}}}{2015368425808410779320320}+...+\frac{242327541083165}{3075208169263322112} \Biggr] \\ \notag \\ &q_1(x)= cd_m^{-1} \cdot t_1={{x}^{6}}-\frac{232 {{x}^{2}}}{5}+432 \ \in \ F_0[x]\\ \end{align}
(9.6)の両端を見ると、 \(cd_m\) が (9.7)で示す \( \ B_1(x)=0 \ \) という２項方程式の根であるとも言えます。 そこで、\(cd_m\) を \(B_1(x)=0\) の冪根として、新たに \(a_1\) という文字で定義します。そして、 \(a_1\) を基礎体 \(F_0\) に添加することにより、 新たな拡大体 \(F_1\) を生成する事にします。
\begin{align} &cd_m^2=-17510400 \equiv A_1 \ \in \ F_0 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} B_1(x)=x^2-A_1=0 \\ a_1 \equiv \sqrt{A_1} =\sqrt{-17510400} \ \in \ \bbox[#FFFF00]{ F_1 \equiv F_0(a_1) }\\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &t_1=cd_m \cdot q_1(x) \ \in F_0(v)[x] \quad \Rightarrow \quad \tilde{t_1}=a_1 \cdot q_1(x) \ \in F_1[x] \\ \end{align}
【step2】二項方程式 \(B_1(x)=0\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_1=cd_m \cdot q_1(x) \ \in F_0(v)[x]\\
\\
cd_m \ \in F_0(v) \\
q_1(x) \ \in F_0[x]\\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_1 \cdot q_1(x) \ \in F_1[x] \\
\\
B_1(x)=x^2-A_1=0 \\
a_1=\sqrt {A_1} \ \in F_0(a_1) \equiv F_1\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
いよいよ最後の段階の計算です。
(9.1)の \(t_0\) と(9.8)の \(\tilde{t_1}\) を(9.9)のInverse Lagrange Resolvent Transformationに代入すると、\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\) を 求める事が出来ます。\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\)とチルダがついているのも、\(\{h_0,h_1\}\) と区別するためです。
又、\(\tilde{h_0}\) は \((x-v)\) の因数を含んでいるので、 \(\tilde{h_0}\) を、 \(F_1\) 上の \(v\) の最小多項式 \(g_1(x)\) と考えてもよいでしょう。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
計算結果をまとめると以下の様になります。
\begin{align} &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_1(x) \qquad deg(g_1(x))=12 \notag \\ \notag \\ &g_1(x)= x^{12}-80x^8+2720x^6+11840x^4+587520x^2+1193216 \notag \\ &\qquad \qquad +a_1({{x}^{6}}-\frac{232 {{x}^{2}}}{5}+432 ) \quad \in \ F_1[x]\\ \end{align}
以上の様に、新たな添加数 \(a_1\) を導入して体を \(F_0\) から \(F_1\) に拡大することにより、\(v\) の最小多項式を \(g_0(x)\) から \(g_1(x)\) と変形でき、 次数を24次から12次まで減少させる事が出来ました。
【補足】\(cd_m^{-1}\) を求める際の注意点
\(cd_m \ \in F_0(v)\) なので、体 \(F_0(v)\) を生成している条件は、 \(g_0(v)=0\) です。
\(deg(g_0(x))=24\) なので、体 \(F_0(v)\) の基底は \(\{1,v,v^2,....,v^{23}\}\) となります。
従って \(cd_m^{-1}\) をこの基底で展開して、 \([ \ cd_m^{-1} \cdot cd_m=1 \ ]\) という条件より、係数 \(c_i\) の連立方程式を解けば \(cd_m^{-1}\) を求める事が出来ます。 計算過程ではいつもの様に \(mod(g_0(v))\) の剰余が必要です。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} cd_m^{-1}=c_0+c_1v+c_2v^2+....+c_{23}v^{23} \\ cd_m^{-1} \cdot cd_m=1 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ cd_m&=-\frac{1842286585 {{v}^{22}}}{575477552142843904}+\frac{22200475 {{v}^{20}}}{17983673504463872}+\frac{35316027575 {{v}^{18}}}{71934694017855488} +..... \notag \\ \notag \\ &-\frac{10880639453426075 {{v}^{4}}}{140497449253624}-\frac{22629495387627730 {{v}^{2}}}{17562181156703}-\frac{24232754108316500}{17562181156703} \notag \\ \notag \\ cd_m^{-1}&=\frac{368457317 {{v}^{22}}}{2015368425808410779320320}-\frac{888019 {{v}^{20}}}{12596052661302567370752}+....\notag \\ \notag \\ &+\frac{435225578137043 {{v}^{4}}}{98406661416426307584}+\frac{2262949538762773 {{v}^{2}}}{30752081692633221120}+\frac{242327541083165}{3075208169263322112} \notag \\ \end{align}