【例題1】の解法手順（RT2&RT4）
EX1-RT2-1\begin{align*} &f(x)=3x^3+3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\begin{align*} v_{1}=\alpha+2\beta+3\gamma \qquad v_{2}=\alpha+2\gamma+3\beta \\ v_{3}=\beta+2\alpha+3\gamma \qquad v_{4}=\beta+2\gamma+3\alpha\\ v_{5}=\gamma+2\alpha+3\beta \qquad v_{6}=\gamma+2\beta+3\alpha \end{align*} \begin{align*} V(x)=&(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})\\ \times&(x-v_{4})(x-v_{5})(x-v_{6}) \end{align*}
\[ Remainder \ Theorem \] \[ \qquad (1) \quad \alpha^3+3\alpha+1=0 \\ \qquad (2) \quad \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+3=0\\ \qquad (3) \quad \alpha+\beta +\gamma=0\]
\[ \quad divide \ V(x) \ by \ (1),(2),(3) \] \[ \qquad \qquad \Downarrow \] \[g_{0}(x)=x^6+18x^4+81x^2+135 \]
\[ \qquad g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1\\v\\v^2\\v^3\\v^4\\v^5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 24 & 0 & 0 & -6\\ 9 & -9 & 0 & -45 & -45 & 0\\ -72 & -9 & -288 & 9 & -9 & 90\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ \beta \\ \alpha \\ \alpha\beta \\ \alpha^2 \\ \alpha^2\beta \end{pmatrix} \end{align*}
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
（覚書1：RT2-4の計算の仕組み）
（覚書2：Lagrange補間式を使って根を求める計算法）
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）
RT2-3の計算
前節で求めた\(V(x)\)を変形してゆくために、少しだけ準備をします。\(f(x)\)を\(\{ \ (x-\alpha), \ (x-\beta),(x \ -\gamma) \ \}\) の3式を使って、以下の様に順次割ってゆきます。
\begin{align} \setCounter{10} f(x)&=x^3+3x+1 \notag \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2+3)+(\alpha^3+3 \alpha +1) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)( x+\alpha+\beta )+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma) \cdot 1+(\alpha+\beta+\gamma) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \end{align}
見ていただくと判るように、\(f(x)\) を \((x-\alpha)\) で割り、その商 \(q_1(x)\) を \((x-\beta)\) で割り、 その商 \(q_2(x)\) を \((x-\gamma)\) で順次割ってゆくことに注意してください。
従って、 \(q_1(x)\) は \(\alpha\) 以外の \(\{\beta,\gamma\}\) を根に持ち、\(q_2(x)\) は \(\gamma\) のみを根に持っているはずです。式(14)(15)(16)はこれを示しています。
\begin{align} \{\alpha,\beta,\gamma\} \ &: \ roots \ of \ f(x)=x^3+3x+1 &\therefore \ f(\alpha)=0 \\ \{\beta,\gamma\} \ &: \ roots \ of \ q_1(x)= x^2+\alpha x+\alpha^2+3 &\therefore \ q_1(\beta)=0 \\ \{\gamma\} \ &: \ root \ of \ \ q_2(x)= x+\alpha+\beta &\therefore \ q_2(\gamma)=0 \\ \end{align}
式(14)(15)(16)より、各ステップの余り \(\{r_1,r_2,r_3\}\) もゼロでなければなりません。 従って式(17)が成立します。これが「剰余の定理」から導き出された \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) の 間に成り立つ関係式です。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \quad f(\alpha)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_1=\alpha^3+3 \alpha +1=0\\ \quad q_1(\beta)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_2=\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3=0\\ \quad q_2(\gamma)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_3=\alpha+\beta+\gamma=0\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
RT2-4の計算
前節で得られた式(17)を使いRT2-2の式(7)で得られた\(V(x)\) を変形してゆきます。式(10)の\(V(x)\) は、\(\{x,\alpha,\beta,\gamma\}\) の多項式として見る事が出来ます。 そこで \(V(x)=V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) と表記する事にします。この \(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) を \([ r_3,r_2,r_1 ]\) の順番で剰余を取ってゆきます。
[step1]の剰余
先ず、\(r_3\) を \(\gamma\) を主変数として、\(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) を 割ってみます。\begin{align} &V(x,\alpha,\beta,\gamma)= r_3 \cdot Q_1(x,\alpha,\beta,\gamma)+V_1(x,\alpha,\beta)\\ \end{align}
\begin{align} &\qquad V_1(x,\alpha,\beta)=-4 {{\beta }^{6}}-12 \alpha {{\beta }^{5}}+\left( 3 {{\alpha }^{2}}+9 {{x}^{2}}\right) {{\beta }^{4}} \notag \\ &\qquad +\left( 26 {{\alpha }^{3}}+18 {{x}^{2}} \alpha \right) {{\beta }^{3}} +\left( 3 {{\alpha }^{4}} +27 {{x}^{2}} {{\alpha }^{2}}-6 {{x}^{4}}\right) {{\beta }^{2}} \notag \\ &\qquad +\left( -12 {{\alpha }^{5}}+18 {{x}^{2}} {{\alpha }^{3}}-6 {{x}^{4}} \alpha \right) \beta -4 {{\alpha }^{6}}+9 {{x}^{2}} {{\alpha }^{4}}-6 {{x}^{4}} {{\alpha }^{2}}+{{x}^{6}} \\ \end{align}
\begin{align} & \quad V(x,\alpha,\beta,\gamma) \equiv V_1(x,\alpha,\beta) \quad( \ \because \ r_3=0 \ ) \\ \end{align}
\(r_3\) で \(\gamma\) を主変数として割り算するという事は、\(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) の \(\gamma\) に \((-\alpha-\beta)\) を代入する事と等価なので当然ですね。
[step2]の剰余
次に、主変数を\(\beta\) とした \(r_2\) で \(V_1(x,\alpha,\beta)\) を割ります。この場合も。\(V_1(x,\alpha,\beta)\) の \(\beta^2\) に \((-\alpha\beta-\alpha^2-3)\) を代入するのと等価です。但し、代入する式の中に \(\beta\) も含まれて いるにもかかわらず、結果は \(\beta\) の文字が消えています！\begin{align} &V_1(x,\alpha,\beta)= \ r_2 \cdot Q_2(x,\alpha,\beta)+V_2(x,\alpha)\\ \notag \\ & V_2(x,\alpha)=27 {{\alpha }^{6}}+162 {{\alpha }^{4}}+243 {{\alpha }^{2}}+{{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+108\\ \notag \\ &V_1(x,\alpha,\beta)\equiv V_2(x,\alpha) \quad( \ \because \ r_2=0 \ ) \end{align}
[step3]の剰余
更に、主変数を\(\alpha\) とした \(r_1\) で \(V_2(x,\alpha)\) を割ります。この場合も。\(V_1(x,\alpha)\) の \(\alpha^3\) に \((-3\alpha-1)\) を代入するのと等価です。この場合も文字 \(\alpha\) が消えています！\begin{align} &V_2(x,\alpha)= \ r_1 \cdot Q_3(x,\alpha,\beta)+V_3(x)\\ &\qquad V_3(x)={{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+135 \\ \notag \\ &V_2(x,\alpha)\equiv V_3(x) \quad( \ \because \ r_1=0 \ )\\ \end{align}
[step1-step3]のまとめ
以上をまとめると以下の式(27)となります。式(10)の \(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) が、3段階の剰余計算で一気に \(V_3(x)\) まで変形されて、 \(F_0\) 上の多項式となりました。
\begin{align} V(x)&= V(x,\alpha,\beta,\gamma)= V_1(x,\alpha,\beta)\notag \\ &=V_2(x,\alpha)=V_3(x)={{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+135\\ \end{align}
更に、\(V_3(x)\) は \(F_0\) 上で既約なので \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) とする事が出来ます。 何故なら、\(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) は、\((x-v_1)\) の因数を持っているので、\(v=v_1\) を根に持っているからです。
\begin{align} g_0(x)=x^6+18x^4+81x^2+135\\ \end{align}
しかし残念ながら「退職後は素人数学者」氏のPDFファイルには、このからくりに関する説明が 殆どありませんでした。このからくりに関して、直接教えを乞えないので残念です。
私自身、この計算手法の糸口のようなものを考えてみました。この章の最後の【覚書1】に記しておきます。 又、この手法を使って、EX1-RT1-6で少しばかり説明したLagrange補間式が、\(F_0\) 上の多項式 として表現できる計算を、【覚書2】に記しておきます。
次ページに続く
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